الاتصال: دالة متصلة وخصائصها – الرياضيات — السنة الأولى ثانوي (جذع مشترك علوم وتكنولوجيا) — المنهاج الجزائري

الاتصال: دالة متصلة وخصائصها

الاتصال مفهوم يصف سلاسة الدالة. الدالة متصلة عند نقطة إذا كان يمكن رسمها بالقلم دون رفعه من الورقة حول تلك النقطة. الاتصال شرط أساسي للاشتقاق وتطبيق العديد من النظريات.

تعريف الاتصال عند نقطة

الدالة f متصلة عند x = a إذا تحقق: f(a) معرفة، نهاية f(x) عندما x->a موجودة (من اليمين واليسار)، نهاية f(x) = f(a). إذا اختل أي شرط، الدالة غير متصلة.

أنواع عدم الاتصال

• عدم اتصال نقطي: النهاية موجودة لكن لا تساوي f(a) (فجوة قابلة للإزالة).
• عدم اتصال قفزي: النهايتان من اليمين واليسار موجودتان لكن مختلفتان (قفزة).
• عدم اتصال لانهائي: أحد النهايات أو كلاهما لا نهائي (خط مقارب عمودي).

نظرية القيم المتوسطة

إذا كانت f متصلة على [a, b] وكانت y0 محصورة بين f(a) و f(b)، فإنه يوجد c في ]a, b[ بحيث f(c) = y0. تطبيق: إذا كانت f(a) و f(b) مختلفتي الإشارة، يوجد جذر للمعادلة f(x) = 0 في ]a, b[.

تمارين

1. ادرس اتصال الدالة f(x) = (x^2 – 1)/(x – 1) عند x = 1.
2. بين أن المعادلة x^3 – 3x + 1 = 0 تقبل حلاً في [0, 1].
3. ما أنواع عدم الاتصال؟ أعط مثالاً لكل نوع.

خلاصة

الاتصال خاصية أساسية للدوال. الدوال المتصلة لها خصائص مهمة مثل نظرية القيم المتوسطة التي تسمح بإثبات وجود جذور للمعادلات.