النهايات: مفهوم نهاية دالة – الرياضيات — السنة الأولى ثانوي (جذع مشترك علوم وتكنولوجيا) — المنهاج الجزائري

النهايات: مفهوم نهاية دالة

نهاية الدالة عند نقطة هي القيمة التي تقترب منها الدالة عندما يقترب المتغير من تلك النقطة. النهايات مفهوم أساسي في التفاضل والتكامل، وتستخدم لدراسة سلوك الدوال والاتصال والاشتقاق.

تعريف النهاية

نقول أن نهاية f(x) عندما x يؤول إلى a هي L إذا أمكن جعل قيم f(x) قريبة من L بقدر ما نريد بجعل x قريبة بما يكفي من a (من الجانبين). نكتب: lim f(x) = x->a. ملاحظة: قيمة f(a) نفسها لا تهم، المهم سلوك الدالة حول a.

النهايات الأساسية

lim c = c (ثابت). lim x = a. lim x^n = a^n. lim (f+g) = lim f + lim g. lim (f x g) = lim f x lim g. lim (f/g) = lim f / lim g (إذا كان lim g != 0).

حالات عدم التعيين

0/0: نحلل ونختصر. infinity/infinity: نقسم على أعلى قوة. infinity – infinity: نضرب في المرافق. 0 x infinity: نحول إلى 0/0 أو infinity/infinity.

تمارين

1. احسب: lim (x^2 – 4)/(x – 2) عندما x -> 2.
2. احسب: lim (3x^2 + 2x – 1)/(x^2 + 1) عندما x -> infinity.
3. احسب: lim (sqrt(x+1) – 1)/x عندما x -> 0.

خلاصة

النهايات مفهوم تأسيسي في التحليل الرياضي. فهمها ضروري لدراسة الاتصال والاشتقاق والتكامل. حالات عدم التعيين تتطلب تقنيات جبرية لحلها.