الرياضيات — الأعداد الأولية: اختبار الأعداد الأولية والتحليل إلى عوامل — الأولى متوسط — المنهاج الجزائري

الأعداد الأولية: اختبار الأعداد الأولية والتحليل إلى عوامل — الأولى متوسط — المنهاج الجزائري

العدد الأولي هو عدد طبيعي أكبر من 1 يقبل القسمة فقط على 1 وعلى نفسه. الأعداد الأولية هي لبنات بناء الأعداد الطبيعية، حيث يمكن تحليل أي عدد طبيعي إلى جداء أعداد أولية بطريقة وحيدة (مبرهنة التحليل الأساسية).

الأعداد الأولية الأولى

الأعداد الأولية الأصغر من 100 هي: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
ملاحظة: 2 هو العدد الأولي الزوجي الوحيد؛ كل الأعداد الأولية الأخرى فردية.

كيفية اختبار عدد أولي

لاختبار العدد n:
1. نتحقق من قابلية القسمة على الأعداد الأولية الصغيرة (2, 3, 5, 7, 11, …).
2. نستمر حتى نصل إلى عدد أولي مربعه أكبر من n.
مثال: هل 97 أولي؟ نختبر القسمة على 2 (لا)، 3 (لا)، 5 (لا)، 7 (97 ÷ 7 ≈ 13.85، لا)، 11 (لا). بما أن 11² = 121 > 97، نتوقف ونقرر أن 97 أولي.

التحليل إلى عوامل أولية

نستعمل طريقة القسمات المتتالية:
مثال: حلل 60 إلى عوامل أولية:
60 ÷ 2 = 30
30 ÷ 2 = 15
15 ÷ 3 = 5
5 ÷ 5 = 1
60 = 2² × 3 × 5

استخدامات الأعداد الأولية

• إيجاد القاسم المشترك الأكبر (PGCD) والمضاعف المشترك الأصغر (PPCM).
• في التشفير (مثل تشفير RSA الذي يعتمد على صعوبة تحليل الأعداد الكبيرة).
• تبسيط الكسور والحسابات الكسرية.

تمارين

1. حدد الأعداد الأولية من بين: 51, 53, 57, 59, 87, 89, 91, 97.
2. حلل إلى عوامل أولية: 72, 120, 180, 525.
3. أوجد PGCD(48, 60) باستعمال التحليل إلى عوامل أولية.

روابط مفيدة

اقرأ أيضاً: القاسم المشترك الأكبر و المضاعف المشترك الأصغر.