الرياضيات — التناسب العكسي: مفهومه وتمثيله البياني — الثالثة متوسط — المنهاج الجزائري

التناسب العكسي: مفهومه وتمثيله البياني — الثالثة متوسط — المنهاج الجزائري

التناسب العكسي هو علاقة بين كميتين x و y حيث تكون قيمة y متناسبة عكسياً مع x، أي أن جداءهما ثابت: x × y = k (حيث k ثابت غير معدوم). تكتب العلاقة على الشكل y = k/x.

خصائص التناسب العكسي

• الجداء ثابت: إذا كانت x و y متناسبتان عكسياً فإن x₁ × y₁ = x₂ × y₂ = k.
• التمثيل البياني: قطع زائد (Hyperbola) يتكون من فرعين، يقعان في الربعين الأول والثالث إذا كان k > 0، وفي الربعين الثاني والرابع إذا كان k < 0.
• إذا زادت x: تناقصت y والعكس صحيح.

مثال تطبيقي

السرعة والزمن: إذا كانت المسافة ثابتة (120 km)، فالسرعة v والزمن t مرتبطان بـ v × t = 120.
عند v = 40 km/h: t = 120/40 = 3 h
عند v = 60 km/h: t = 120/60 = 2 h
عند v = 80 km/h: t = 120/80 = 1.5 h
نلاحظ: كلما زادت السرعة نقص الزمن والعكس صحيح.

الفرق بين التناسب الطردي والتناسب العكسي

التناسب الطردي: y = kx (نسبة ثابتة)، تمثيله مستقيم يمر من الأصل.
التناسب العكسي: y = k/x (جداء ثابت)، تمثيله قطع زائد.

تمارين

1. إذا كان x و y متناسبان عكسياً، وكانت x = 4 عندما y = 6، فأوجد k ثم أحسب y عندما x = 8 و x عندما y = 3.
2. 10 عمال ينجزون عملاً في 12 يوماً. كم يوماً يلزم 15 عاملاً لإنجاز نفس العمل؟
3. مثل بيانياً العلاقة y = 12/x لـ x ∈ {1, 2, 3, 4, 6, 12}.

روابط مفيدة

اقرأ أيضاً: المقاييس الإحصائية و المجموعات: مفهوم المجموعة وعناصرها.