مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
الدوال الأسية: تعريف وخصائص وتمثيل بياني
تعتبر الدوال الأسية من أهم الدوال في الرياضيات ولها تطبيقات واسعة في الفيزياء والكيمياء والاقتصاد. في هذا الدرس سنتعرف على تعريف الدالة الأسية وخصائصها الأساسية.
تعريف الدالة الأسية
الدالة الأسية هي دالة معرفة على مجموعة الأعداد الحقيقية ℝ تأخذ الشكل f(x) = a^x حيث a > 0 و a ≠ 1. العدد a يسمى أساس الدالة الأسية.
خصائص الدالة الأسية
- الدالة الأسية معرفة على ℝ ومجالها ℝ
- مجال قيمها هو المجال ]0, +∞[
- إذا كان a > 1 فإن الدالة تزايدية قطعاً
- إذا كان 0 < a < 1 فإن الدالة تناقصية قطعاً
- f(0) = 1 لأي أساس a
- f(x+y) = f(x) × f(y)
- f(x-y) = f(x) ÷ f(y)
- f(nx) = [f(x)]^n
مثال توضيحي
لنأخذ الدالة f(x) = 2^x. هذه الدالة تزايدية لأن a = 2 > 1. عند x = 0 نجد f(0) = 1. وعند x = 3 نجد f(3) = 8.
تمثيلها البياني
التمثيل البياني للدالة الأسية يمر بالنقطة (0,1) دائماً. إذا كان a > 1 فالمنحنى يتزايد بسرعة مع زيادة x. إذا كان 0 < a < 1 فالمنحنى يتناقص مع زيادة x ويقترب من محور الفواصل.
تمارين محلولة
التمرين الأول: حدد اتجاه تغير الدوال التالية: f(x) = 3^x, g(x) = (1/3)^x
الحل: f تزايدية (3 > 1)، g تناقصية (1/3 < 1)
التمرين الثاني: احسب f(2) إذا كانت f(x) = 5^x
الحل: f(2) = 5^2 = 25
التمرين الثالث: حل المعادلة 2^x = 8
الحل: 8 = 2^3، إذن x = 3
خلاصة الدرس
الدالة الأسية f(x) = a^x (a > 0, a ≠ 1) هي دالة معرفة على ℝ ومجالها ℝ ومجال قيمها ]0, +∞[. تزايدية إذا a > 1 وتناقصية إذا 0 < a < 1. منحناها يمر دائماً بالنقطة (0,1). للدوال الأسية تطبيقات مهمة في النمو السكاني والاضمحلال الإشعاعي والفائدة المركبة.