التكامل: مفهوم التكامل غير المحدد وطرق حسابه – الرياضيات — السنة الثالثة ثانوي (شعبة علوم تجريبية) — المنهاج الجزائري

التكامل: مفهوم التكامل غير المحدد وطرق حسابه

التكامل هو أحد المفاهيم الأساسية في التحليل الرياضي، وهو العملية العكسية للاشتقاق. يستخدم التكامل لحساب المساحات والحجوم والعديد من التطبيقات الفيزيائية والهندسية.

تعريف التكامل غير المحدد

إذا كانت F دالة قابلة للاشتقاق على مجال I وكانت F'(x) = f(x) لكل x ∈ I، فإن F تسمى دالة أصلية للدالة f على I، ونكتب: ∫ f(x) dx = F(x) + C حيث C ثابت اختياري (ثابت التكامل).

التكاملات الأساسية

• ∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C, n ≠ -1
• ∫ 1/x dx = ln|x| + C
• ∫ e^x dx = e^x + C
• ∫ a^x dx = a^x/ln(a) + C
• ∫ cos(x) dx = sin(x) + C
• ∫ sin(x) dx = -cos(x) + C
• ∫ 1/(1+x^2) dx = arctan(x) + C
• ∫ 1/√(1-x^2) dx = arcsin(x) + C

طرق التكامل

1. التكامل المباشر: باستخدام التكاملات الأساسية مباشرة.

2. التكامل بالتعويض: إذا كان ∫ f(g(x))g'(x) dx = ∫ f(u) du حيث u = g(x).

3. التكامل بالتجزئة: ∫ u dv = uv – ∫ v du.

أمثلة محلولة

المثال 1: احسب ∫ 3x^2 dx
الحل: ∫ 3x^2 dx = 3 × ∫ x^2 dx = 3 × x^3/3 + C = x^3 + C

المثال 2: احسب ∫ 2x e^(x^2) dx باستخدام التعويض
الحل: نضع u = x^2، إذن du = 2x dx، وبالتالي ∫ 2x e^(x^2) dx = ∫ e^u du = e^u + C = e^(x^2) + C

تمارين

التمرين: احسب التكاملات التالية:
1. ∫ (2x + 3) dx
2. ∫ 5e^x dx
3. ∫ cos(3x) dx