مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
الدوال اللوغاريتمية: تعريف وخصائص
الدالة اللوغاريتمية هي الدالة العكسية للدالة الأسية. تعتبر من الدوال الأساسية في الرياضيات وتستخدم في حل المعادلات الأسية وفي العديد من التطبيقات العلمية.
تعريف الدالة اللوغاريتمية
إذا كان a > 0 و a ≠ 1، فإن اللوغاريتم للأساس a للعدد x (حيث x > 0) هو العدد y الذي يحقق a^y = x. نكتب: y = log_a(x). الدالة f(x) = log_a(x) تسمى الدالة اللوغاريتمية للأساس a.
خصائص أساسية
- مجال التعريف: ]0, +∞[
- مجال القيم: ℝ
- إذا كان a > 1 فالدالة تزايدية قطعاً
- إذا كان 0 < a < 1 فالدالة تناقصية قطعاً
- log_a(1) = 0
- log_a(a) = 1
- log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y)
- log_a(x/y) = log_a(x) – log_a(y)
- log_a(x^n) = n × log_a(x)
اللوغاريتم الطبيعي (النييري)
اللوغاريتم للأساس e (حيث e ≈ 2.71828) يسمى اللوغاريتم الطبيعي ويرمز له بـ ln(x). له أهمية خاصة في التحليل الرياضي.
مثال توضيحي
لنحسب log_2(8): نبحث عن y حيث 2^y = 8. نعلم أن 2^3 = 8، إذن log_2(8) = 3.
تمارين محلولة
التمرين الأول: احسب log_3(81)
الحل: 3^4 = 81، إذن log_3(81) = 4
التمرين الثاني: بسط العبارة: log_2(8) + log_2(4)
الحل: log_2(8) = 3 و log_2(4) = 2، المجموع = 5 = log_2(32)
التمرين الثالث: حل المعادلة: log_5(x) = 2
الحل: x = 5^2 = 25
العلاقة بين الدوال الأسية واللوغاريتمية
الدالة اللوغاريتمية هي الدالة العكسية للدالة الأسية. أي أن: log_a(a^x) = x لكل x ∈ ℝ، و a^(log_a(x)) = x لكل x > 0. هذا يعني أن منحنيي الدالتين متناظران بالنسبة للمستقيم y = x.
📍 دروس مشابهة:
- النهايات والاستمرارية: مفهوم النهاية وتعريفها – الرياضيات —
- المنطق الرياضي: العبارات والروابط المنطقية – الرياضيات — ال
- الجداء السلمي في المستوي: تعريف وخصائص – الرياضيات — السنة