دراسة الدوال: اتجاه التغير والتمثيل البياني – الرياضيات — السنة الثانية ثانوي (شعبة علوم تجريبية) — المنهاج الجزائري

دراسة الدوال: اتجاه التغير والتمثيل البياني

دراسة الدوال هي فرع أساسي من التحليل الرياضي. تسمح بفهم سلوك الدوال وتحديد خصائصها عبر تحليل مشتقاتها ونهاياتها.

مجموعة التعريف

مجموعة التعريف (Domain) هي مجموعة القيم التي تأخذها المتغير المستقل x والتي تجعل الدالة معرفة. لتحديد مجموعة التعريف يجب تجنب القيم التي تؤدي إلى:
– مقام يساوي صفر للدوال النسبية
– ما تحت الجذر الزوجي سالبا للدوال الجذرية
– ما تحت اللوغاريتم سالبا أو صفرا للدوال اللوغاريتمية

اتجاه التغير (رتابة الدالة)

لتحديد اتجاه تغير دالة f على مجال I، نحسب المشتقة f'(x):
– إذا كانت f'(x) > 0 لكل x في I فإن f تزايدية قطعاً على I
– إذا كانت f'(x) < 0 لكل x في I فإن f تناقصية قطعاً على I
– إذا كانت f'(x) = 0 لكل x في I فإن f ثابتة على I

القيم القصوى (Extrema)

النقط التي تنعدم عندها المشتقة (f'(x)=0) تسمى نقاطا حرجة. إذا تغيرت إشارة المشتقة من موجب إلى سالب عند نقطة حرجة، فهي نقطة قيمة قصوى محلية. إذا تغيرت من سالب إلى موجب، فهي نقطة قيمة دنيا محلية.

التمثيل البياني

لرسم منحنى دالة، نتبع الخطوات التالية:
1. تحديد مجموعة التعريف
2. حساب النهايات عند حدود مجموعة التعريف
3. حساب المشتقة وتحديد إشارتها وجدول التغيرات
4. تحديد النقط الخاصة (محاور التقاطع، القيم القصوى، نقط الانعطاف)
5. رسم المنحنى مع مراعاة جميع المعلومات السابقة

مثال تطبيقي

لندرس الدالة f(x) = x² – 4x + 3:

• مجموعة التعريف: ℝ
• المشتقة: f'(x) = 2x – 4
• إشارة المشتقة: f'(x)=0 ⟹ x=2. f'(x)>0 ⟹ x>2 و f'(x)<0 ⟹ x<2
• جدول التغيرات: f تناقصية على ]-∞,2] وتزايدية على [2,+∞[
• القيمة الدنيا: f(2) = 4-8+3 = -1

تمارين

1. ادرس اتجاه تغير الدالة f(x) = x³ – 3x
2. ادرس الدالة f(x) = (x+1)/(x-1) وارسم منحناها
3. حدد القيم القصوى للدالة f(x) = -x² + 6x – 5