مبرهنة فيثاغورس: مفهومها وتطبيقاتها – الرياضيات — السنة الثالثة متوسط — المنهاج الجزائري

مقدمة

مرحباً بكم في درس جديد من مادة الرياضيات للمرحلة المتوسطة حسب المنهاج الجزائري. في هذا الدرس، سنتناول موضوع مبرهنة فيثاغورس: مفهومها وتطبيقاتها.

الأهداف التعليمية

• فهم نص مبرهنة فيثاغورس.
• حساب طول الوتر في مثلث قائم الزاوية.
• حساب طول ضلع في مثلث قائم.
• تطبيق المبرهنة في مسائل عملية.

نص المبرهنة

مبرهنة فيثاغورس تنص على أنه في مثلث قائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين (الضلعين القائمين). رياضياً: في المثلث ABC القائم في A: BC² = AB² + AC². حيث BC هو الوتر (أطول ضلع في المثلث القائم).

مثال توضيحي

مثلث قائم الزاوية ضلعاه القائمان 3 cm و 4 cm. الوتر² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25. إذاً الوتر = √25 = 5 cm. هذه العلاقة تعرف بثلاثية فيثاغورس (3-4-5) وهي أول ثلاثية فيثاغورسية.

حساب طول ضلع

إذا كنا نعرف الوتر وأحد الضلعين: AB² = BC² – AC². مثال: وتر طوله 13 cm وضلع قائم 5 cm. الضلع الآخر² = 13² – 5² = 169 – 25 = 144. إذاً الضلع الآخر = √144 = 12 cm.

تطبيقات مبرهنة فيثاغورس

• البناء والهندسة المدنية: التأكد من تعامد الجدران والزوايا القائمة.
• الملاحة: حساب المسافات بين نقطتين.
• الرسم والتصميم: إنشاء زوايا قائمة بدقة.
• النجارة: قطع الأخشاب بزوايا قائمة.
• قياس الارتفاعات: حساب ارتفاع المباني والأشجار.
• شاشات التلفاز والحاسوب: قياس أقطار الشاشات.

تمارين تطبيقية

1. التمرين الأول: مثلث قائم ضلعاه 6 cm و 8 cm. احسب طول الوتر.
2. التمرين الثاني: وتر مثلث قائم 17 cm وأحد ضلعيه 15 cm. احسب الضلع الآخر.
3. التمرين الثالث: سلم طوله 5 m يستند على حائط، قاعدته تبعد 3 m عن الحائط. إلى أي ارتفاع يصل السلم؟
4. التمرين الرابع: هل المثلث الذي أطوال أضلاعه 7 cm, 24 cm, 25 cm قائم الزاوية؟

ملخص الدرس

مبرهنة فيثاغورس: في مثلث قائم، الوتر² = الضلع القائم الأول² + الضلع القائم الثاني². تستخدم لحساب طول ضلع مجهول في مثلث قائم. تطبيقات: البناء، الملاحة، القياسات. راجع درس المثلثات: أنواعها وخصائصها ودرس الهندسة: المساحات والمحيطات.