النسب المثلثية في المثلث القائم: الجيب وجيب التمام والظل – الرياضيات — السنة الأولى ثانوي (جذع مشترك علوم وتكنولوجيا) — المنهاج الجزائري

النسب المثلثية في المثلث القائم: الجيب وجيب التمام والظل – الرياضيات

النسب المثلثية تربط بين أضلاع المثلث القائم الزاوية وزواياه. أساسية في الهندسة والفيزياء.

1. تعريف النسب المثلثية

في مثلث قائم الزاوية ABC حيث الزاوية القائمة في A:

• جيب الزاوية B: sin(B) = الضلع المقابل / الوتر = AC/BC
• جيب تمام الزاوية B: cos(B) = الضلع المجاور / الوتر = AB/BC
• ظل الزاوية B: tan(B) = الضلع المقابل / الضلع المجاور = AC/AB

2. العلاقات الأساسية

• sin²(x) + cos²(x) = 1
• tan(x) = sin(x)/cos(x)
• 1 + tan²(x) = 1/cos²(x)

3. قيم النسب المثلثية للزوايا الخاصة

• sin(0°) = 0, cos(0°) = 1, tan(0°) = 0
• sin(30°) = 1/2, cos(30°) = √3/2, tan(30°) = √3/3
• sin(45°) = √2/2, cos(45°) = √2/2, tan(45°) = 1
• sin(60°) = √3/2, cos(60°) = 1/2, tan(60°) = √3
• sin(90°) = 1, cos(90°) = 0, tan(90°) غير معرفة

4. تمارين تطبيقية

التمرين 1: في مثلث قائم، طول الوتر 10 سم والضلع المقابل للزاوية x يساوي 6 سم. احسب sin(x), cos(x), tan(x).

التمرين 2: أثبت أن sin²(30°) + cos²(30°) = 1.

التمرين 3: إذا كان sin(x) = 0.6، احسب cos(x) (علماً أن x زاوية حادة).

5. الحلول

حل 1: sin(x) = 6/10 = 0.6. الضلع المجاور = √(10² – 6²) = √64 = 8. cos(x) = 8/10 = 0.8. tan(x) = 6/8 = 0.75.

حل 2: sin(30°) = 1/2, cos(30°) = √3/2. sin² + cos² = 1/4 + 3/4 = 1.

حل 3: cos(x) = √(1 – 0.6²) = √(1 – 0.36) = √0.64 = 0.8.

راجع أيضاً التناسبية والدوال الخطية ودرس الدوال المرجعية: دالة المربع والمقلوب.