المعادلات من الدرجة الثانية: طرق الحل والمميز – الرياضيات — السنة الأولى ثانوي (جذع مشترك علوم وتكنولوجيا) — المنهاج الجزائري

المعادلات من الدرجة الثانية: طرق الحل والمميز – الرياضيات

المعادلات من الدرجة الثانية هي أساسية في الرياضيات والتطبيقات العلمية. نتعلم في هذا الدرس طرق حلها.

1. الصيغة العامة

المعادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد تكتب: ax² + bx + c = 0 حيث a ≠ 0, a, b, c أعداد حقيقية.

2. حل المعادلة باستخدام المميز (Delta)

المميز Δ = b² – 4ac. حسب إشارة Δ:

• إذا كان Δ > 0: للمعادلة حلان حقيقيان مختلفان: x₁ = (-b – √Δ)/(2a), x₂ = (-b + √Δ)/(2a)
• إذا كان Δ = 0: للمعادلة حل مزدوج: x₀ = -b/(2a)
• إذا كان Δ < 0: لا توجد حلول حقيقية (حلان مركبان)

3. أمثلة

مثال 1: x² – 5x + 6 = 0. Δ = 25 – 24 = 1 > 0. الحلان: x₁ = (5 – 1)/2 = 2, x₂ = (5 + 1)/2 = 3.

مثال 2: x² – 6x + 9 = 0. Δ = 36 – 36 = 0. الحل: x = 6/2 = 3.

مثال 3: x² + x + 1 = 0. Δ = 1 – 4 = -3 < 0. لا حلول حقيقية.

4. العلاقة بين جذري المعادلة ومعاملاتها

جمع الجذرين: S = x₁ + x₂ = -b/a. جداء الجذرين: P = x₁ × x₂ = c/a.

5. تمارين تطبيقية

التمرين 1: حل المعادلة 2x² – 7x + 3 = 0.

التمرين 2: أوجد معادلة من الدرجة الثانية جذراها 3 و -2.

التمرين 3: حل المعادلة x² – 4x + 4 = 0.

6. الحلول

حل 1: Δ = 49 – 24 = 25. x₁ = (7 – 5)/4 = 0.5, x₂ = (7 + 5)/4 = 3.

حل 2: S = 3 + (-2) = 1, P = 3 × (-2) = -6. المعادلة: x² – x – 6 = 0.

حل 3: Δ = 16 – 16 = 0. x = 2 (حل مزدوج).

راجع أيضاً التناسبية والدوال الخطية ودرس الدوال المرجعية: دالة المربع والمقلوب.