المنطق الرياضي: العبارات والروابط المنطقية وقواعد الاستدلال — الأولى ثانوي

المنطق الرياضي: العبارات والروابط المنطقية

المنطق الرياضي هو أساس البرهان والاستدلال في الرياضيات. يدرس صحة العبارات والاستنتاجات.

1. العبارات المنطقية

العبارة: جملة خبرية لها قيمة صدق (صحيح أو خطأ). P: 2+2=4 (صحيح). Q: 3>7 (خطأ). بعض الجمل ليست عبارات: الاستفهام، الأمر، التعجب.

2. الروابط المنطقية

النفي (¬): ¬P صحيح إذا كان P خطأ. العطف (∧): P∧Q صحيح فقط إذا كان P و Q صحيحين معا. الفصل (∨): P∨Q صحيح إذا كان P أو Q (أو كليهما) صحيحا. الاستلزام (⇒): P⇒Q خطأ فقط إذا P صحيح و Q خطأ. التكافؤ (⇔): P⇔Q صحيح إذا P و Q لهما نفس قيمة الصدق.

3. جداول الصدق

جدول الصدق يبين قيمة العبارة المركبة لجميع الحالات الممكنة. مثال: P⇒Q تكافئ (¬P)∨Q.

4. قواعد الاستدلال

قياس الفصل: إذا P⇒Q صحيح و P صحيح، فإن Q صحيح (Modus Ponens). قياس الفصل المنفي: إذا P⇒Q صحيح و ¬Q صحيح، فإن ¬P صحيح (Modus Tollens). البرهان بالتراجع: إثبات صحة العبارة لجميع الحالات.

مثال

إذا P: المطر نازل، Q: الأرض مبتلة. P⇒Q صحيح. إذا كان المطر نازلا (P صحيح)، فالنتيجة أن الأرض مبتلة (Q صحيح).

تمارين

1. أنشئ جدول صدق للعبارة: (P∧Q) ⇒ (P∨Q).
2. استخدم قياس الفصل للاستنتاج: إذا كان العدد يقبل القسمة على 6 فهو يقبل القسمة على 2. العدد 18 يقبل القسمة على 6. ماذا تستنتج؟