الاشتقاق: دراسة تغيرات الدوال وإيجاد النهايات — الثانية ثانوي

الاشتقاق: دراسة تغيرات الدوال وإيجاد النهايات

الاشتقاق أداة أساسية لدراسة سلوك الدوال وتغيراتها. يستخدم في إيجاد القيم القصوى وتحليل المنحنيات.

1. تعريف المشتقة

مشتقة f عند x₀: f′(x₀) = lim(h→0) (f(x₀+h)-f(x₀))/h. تمثل ميل المماس عند النقطة (x₀,f(x₀)).

2. قواعد الاشتقاق

مشتقة الثابت = 0. (xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹. (u+v)′ = u′+v′. (uv)′ = u′v+uv′. (u/v)′ = (u′v-uv′)/v². قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))×g′(x).

3. دراسة تغيرات الدالة

إذا f′ > 0 فالدالة تزايدية. إذا f′ < 0 فالدالة تناقصية. النقاط الحرجة: f′(x)=0. النقاط القصوى: حيث تتغير إشارة المشتقة. جدول التغيرات يلخص دراسة الدالة.

4. المماس والمنحنيات

معادلة المماس عند النقطة (x₀,y₀): y – y₀ = f′(x₀)(x – x₀). نقطة الانعطاف: حيث تتغير تقعر المنحنى (f′′ تغير الإشارة).

مثال

f(x) = x²-4x+3. f′(x) = 2x-4. f′(x)=0 ← x=2. f(2)=4-8+3=-1. الدالة تناقصية على ]-∞,2] وتزايدية على [2,+∞[. النقطة (2,-1) نقطة صغرى.

تمارين

1. ادرس تغيرات الدالة f(x) = x³-3x.
2. أوجد معادلة المماس للدالة f(x)=x² عند x=1.