التكامل: حساب المساحات والحجوم — الثالثة ثانوي

التكامل: حساب المساحات والحجوم

التكامل المحدد يحسب المساحة تحت منحنى دالة بين حدين.

1. المساحة تحت منحنى

المساحة بين منحنى f(x) ومحور x من a إلى b: A = ∫ₐᵇ |f(x)|dx. إذا f(x)≥0: A = ∫ₐᵇ f(x)dx.

2. المساحة بين منحنيين

A = ∫ₐᵇ |f(x)-g(x)|dx. نحدد تقاطع المنحنيين لإيجاد حدود التكامل.

3. حجم جسم دوراني

دوران منحنى حول محور x: V = π∫ₐᵇ [f(x)]²dx. دوران حول محور y: V = π∫ₐᵇ [f⁻¹(y)]²dy.

4. طول قوس منحنى

L = ∫ₐᵇ √(1+(f'(x))²)dx.

مثال

المساحة تحت f(x)=x² من 0 إلى 2: A = ∫₀² x²dx = [x³/3]₀² = 8/3.

تمارين

1. احسب المساحة بين f(x)=x² و g(x)=x من 0 إلى 1.