المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: طرق الحل — الثالثة ثانوي

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى

المعادلة التفاضلية معادلة تحتوي على مشتقة دالة. تستخدم لنمذجة الظواهر الطبيعية.

1. تعريف

معادلة من الشكل: y’ = f(x,y). الحل: دالة y(x) تحقق المعادلة. الرتبة: أعلى مشتقة في المعادلة.

2. المعادلات من الشكل y’ = f(x)

الحل: y = ∫f(x)dx + C. مثال: y’ = 2x → y = x² + C.

3. المعادلات من الشكل y’ = ay

الحل: y = Ce^(ax). مثال: y’ = 3y → y = Ce^(3x). هذه تمثل النمو الأسي أو التحلل.

4. المعادلات من الشكل y’ = ay + b

الحل: y = Ce^(ax) – b/a. مثال: y’ = 2y + 6 → y = Ce^(2x) – 3.

5. تطبيقات

النمو السكاني: dP/dt = kP. التحلل الإشعاعي: dN/dt = -λN. التبريد: dT/dt = k(T-Tₐ).

مثال

حل: y’ = -2y مع y(0)=5. y = 5e^(-2x).

تمارين

1. حل: y’ = 4y, y(0)=3