مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
الجداء السلمي (Produit Scalaire)
الجداء السلمي (Dot Product) هو عملية رياضية بين متجهين تعطي كمية قياسية (عدداً حقيقياً). له تطبيقات هندسية مهمة في حساب الزوايا والمسافات والإسقاطات.
تعريف الجداء السلمي
إذا كان u و v متجهين في المستوى فإن جداءهما السلمي يكتب u·v ويحسب:
u·v = |u| × |v| × cos(θ)
حيث θ هي الزاوية بين المتجهين.
في معلم متعامد
إذا كان u(x, y) و v(x’, y’) فإن:
u·v = x×x’ + y×y’
خصائص الجداء السلمي
- u·v = v·u (خاصية التبادل)
- u·(v + w) = u·v + u·w (خاصية التوزيع)
- (ku)·v = k(u·v) (التجميع مع القياسي)
- u·u = |u|²
- u·v = 0 ⇔ u ⊥ v (تعامد متجهين)
تطبيقات هندسية
- حساب الزاوية بين متجهين: cos(θ) = (u·v) / (|u|×|v|)
- الإسقاط العمودي: طول مسقط u على v هو: |u| × cos(θ)
- إثبات التعامد: u·v = 0 يعني المتجهان متعامدان
المثال: u(3, 4) و v(5, -2). احسب u·v.
الحل: u·v = 3×5 + 4×(-2) = 15 – 8 = 7
تمارين تطبيقية
التمرين 1: u(2, -1) و v(3, 5). احسب u·v.
التمرين 2: بين أن المتجهين u(2, 3) و v(-6, 4) متعامدان.
التمرين 3: احسب الزاوية بين المتجهين u(1, √3) و v(1, 0).
للمزيد من المعلومات، راجع الهندسة التحليلية والدوال المثلثية.