الرياضيات: الدالة مربع وخصائصها – 1 ثانوي (شعب علمية) – بكالوريا – المنهاج الجزائري

الدالة مربع وخصائصها

الدالة مربع هي إحدى الدوال المرجعية الهامة في الرياضيات. تُكتب على الشكل f(x) = x² وتتميز بخصائص فريدة تجعلها أساساً لدراسة العديد من الدوال الأخرى.

أولاً: تعريف الدالة مربع

تعريف: الدالة مربع هي دالة تُرفع فيها كل قيمة للمتغير x إلى القوة 2، أي f(x) = x².

• مجال التعريف: ℝ (جميع الأعداد الحقيقية)
• مدى الدالة: [0, +∞[ (الأعداد الحقيقية الموجبة)
• التمثيل البياني: قطع مكافئ (Parabola) رأسه في نقطة الأصل (0,0)

جدول قيم الدالة مربع:

f(-3) = 9, f(-2) = 4, f(-1) = 1, f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = 4, f(3) = 9

ثانياً: خصائص الدالة مربع

1. الزوجية: الدالة مربع دالة زوجية لأن f(-x) = (-x)² = x² = f(x). ومنحناها متماثل بالنسبة لمحور التراتيب.

2. اتجاه التغير:

• على المجال ]-∞, 0]: الدالة متناقصة (كلما زاد x تناقص f(x))
• على المجال [0, +∞[: الدالة متزايدة (كلما زاد x تزايد f(x))

3. القيم القصوى: الدالة مربع تقبل قيمة حدية صغرى عند x = 0 وقيمتها f(0) = 0.

مثال محلول:

قارن بين العددين دون استخدام الآلة الحاسبة: (3.5)² و (3.7)²

الحل: بما أن الدالة مربع تزايدية على [0, +∞[ و 3.5 < 3.7، فإن (3.5)² < (3.7)²

ثالثاً: المعادلات التي تتضمن مربع

لحل معادلة من الشكل x² = a حيث a عدد حقيقي:

• إذا كان a < 0: لا توجد حلول حقيقية
• إذا كان a = 0: الحل هو x = 0
• إذا كان a > 0: الحلان هما x = √a أو x = -√a

مثال محلول:

حل المعادلات التالية:

1) x² = 25: الحلول هي x = 5 أو x = -5

2) x² = -4: لا توجد حلول حقيقية

3) x² = 0: الحل هو x = 0

رابعاً: المتراجحات التي تتضمن مربع

لحل متراجحة من الشكل x² ≤ a حيث a > 0:
الحلول هي: -√a ≤ x ≤ √a

لحل متراجحة من الشكل x² ≥ a حيث a > 0:
الحلول هي: x ≤ -√a أو x ≥ √a

مثال محلول:

حل المتراجحة x² ≤ 9:
الحلول هي: -3 ≤ x ≤ 3 أي S = [-3, 3]

تمارين تطبيقية

التمرين 1:

أحسب قيم الدالة f(x) = x² عند النقط: x = -4, x = -0.5, x = 2.5, x = 10

التمرين 2:

حل المعادلات التالية:

1. x² = 49
2. x² = 12
3. x² = -9
4. 2x² = 18

التمرين 3:

حل المتراجحات التالية:

1. x² ≤ 16
2. x² > 4
3. x² ≥ 0

التمرين 4 (تطبيقي):

سقطت كرة من ارتفاع 20 متراً. المسافة d (بالمتر) التي قطعتها الكرة بعد t ثانية تعطى بالعلاقة d = 4.9t². بعد كم ثانية تصل الكرة إلى الأرض؟

للمزيد من الدروس حول الدوال المرجعية، يمكنكم الاطلاع على درس الدوال العددية: مجموعة التعريف والتغيرات وكذلك درس الأعداد الحقيقية: القيمة المطلقة والمسافة.