الرياضيات: الاشتقاقية – تعريف المشتقة وقواعد الحساب – 1 ثانوي (شعب علمية) – بكالوريا – المنهاج الجزائري

الاشتقاقية: تعريف المشتقة وقواعد الحساب

الاشتقاق (Derivation) هو مفهوم اساسي في التحليل الرياضي. المشتقة تمثل معدل تغير دالة عند نقطة معينة.

اولا: تعريف العدد المشتق

العدد المشتق: العدد المشتق للدالة f عند النقطة x₀ يرمز له بالرمز f'(x₀) ويعرف كما يلي:
f'(x₀) = lim(h→0) (f(x₀ + h) – f(x₀)) / h

هندسيا، العدد المشتق f'(x₀) هو ميل المماس (Tangente) لمنحنى الدالة f عند النقطة ذات الفاصلة x₀.

ثانيا: قواعد الاشتقاق

مشتقات الدوال الاساسية:

• f(x) = c (ثابت) → f'(x) = 0
• f(x) = x → f'(x) = 1
• f(x) = xⁿ → f'(x) = n xⁿ⁻¹
• f(x) = 1/x → f'(x) = -1/x²
• f(x) = √x → f'(x) = 1/(2√x)

عمليات على المشتقات:

• (u + v)’ = u’ + v’
• (ku)’ = k u’ (k ثابت)
• (u x v)’ = u’v + uv’
• (u/v)’ = (u’v – uv’) / v²

مثال محلول:

احسب مشتقة f(x) = x³ – 4x² + 2x – 5

الحل:
f'(x) = 3x² – 4(2x) + 2 – 0 = 3x² – 8x + 2

مثال محلول 2:

احسب مشتقة f(x) = (2x + 1)/(x – 3)

الحل:
u = 2x + 1, u’ = 2
v = x – 3, v’ = 1
f'(x) = (2(x – 3) – (2x + 1)(1)) / (x – 3)²
f'(x) = (2x – 6 – 2x – 1) / (x – 3)² = -7 / (x – 3)²

تمارين تطبيقية

التمرين 1:

احسب مشتقة الدوال التالية:
(أ) f(x) = 4x² – 3x + 7
(ب) f(x) = x⁵ – 2x³ + x – 1

التمرين 2:

احسب مشتقة: f(x) = (x + 2)(x² – 3)

التمرين 3:

احسب مشتقة: f(x) = (3x – 1)/(x + 2)

التمرين 4:

جد معادلة المماس لمنحنى f(x) = x² – 3x + 2 عند النقطة x₀ = 1

للاستزادة، راجع درس النهايات: مفهوم النهاية وقواعد حسابها وكذلك درس المشتقة: تطبيقات على دراسة الدوال.

? دروس مشابهة

• التكامل: مفهوم التكامل غير المحدود والمحدود وطرق الحساب مع تمارين بكالوريا محلول
• الرياضيات — العد: العد التصاعدي من 1 إلى 20 — السنة الأولى إبتدائي — المنهاج الج
• الرياضيات — النسبة المئوية: تمارين وتطبيقات — السنة الأولى متوسط — المنهاج ال