الرياضيات — المنطق الرياضي: البرهان بالاستقراء (التعليل بالترجع) — الثانية ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

المنطق الرياضي: البرهان بالاستقراء (التعليل بالترجع)

البرهان بالاستقراء الرياضي (Mathematical Induction) طريقة برهان قوية لإثبات صحة عبارات تتعلق بالأعداد الطبيعية.

1. مبدأ البرهان بالاستقراء

الخطوة الأساسية: نتحقق لأصغر قيمة (n=0 أو n=1).

فرضية الاستقراء: نفترض صحة العبارة لدى n = k.

خطوة الاستقراء: نبرهن صحة العبارة لدى n = k+1.

2. مثال 1: مجموع الأعداد الطبيعية

1+2+…+n = n(n+1)/2. الإثبات بالاستقراء:

n=1: 1 = 1(1+1)/2 = 1. ✔️

نفترض صحة لدى k: 1+2+…+k = k(k+1)/2.

لدى k+1: 1+2+…+k+(k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k+2)/2. ✔️

3. مثال 2: قابلية القسمة

n³ – n يقبل القسمة على 3 لكل n ∈ ℕ.

n=1: 1-1=0. ✔️ فرض: k³-k=3m.

(k+1)³-(k+1) = k³+3k²+3k+1-k-1 = (k³-k) + 3(k²+k) = 3m + 3(k²+k) = 3(m+k²+k). ✔️

4. تمارين

تمرين 1: برهن أن 1+3+5+…+(2n-1) = n².

تمرين 2: برهن أن 7ⁿ – 1 يقبل القسمة على 6.

تمرين 3: برهن أن 1²+2²+…+n² = n(n+1)(2n+1)/6.

للاستزادة: المنطق الرياضي: العبارات والروابط و المنطق والاستدلال في الرياضيات.

📍 دروس مشابهة

• الرياضيات — الأعداد غير الناطقة: الجذور التربيعية — الأولى ثانوي (شعب علمية) –
• الرياضيات — المضاعف المشترك الأصغر PPCM — الأولى ثانوي (شعب علمية) — المنهاج
• الرياضيات — الأعداد الناطقة: العمليات والتبسيط — الأولى ثانوي (شعب علمية) — ا