الرياضيات — التكامل العددي: طريقة ريمان وتقريب المساحات — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

التكامل العددي: طريقة ريمان وتقريب المساحات

التكامل العددي (Numerical Integration) هو طريقة لتقريب قيمة التكامل المحدد باستخدام تقنيات عددية عندما يكون من الصعب إيجاد الدالة الأصلية. في هذا الدرس، نتعلم طريقة ريمان (Riemann Sums).

1. مفهوم التكامل العددي

التكامل المحدد ∫ₐᵇ f(x)dx يمثل المساحة تحت منحني f(x). يمكن تقريب هذه المساحة بتقسيم المجال [a, b] إلى n مستطيل وجمع مساحاتها.

2. طريقة ريمان

نقسم [a, b] إلى n جزء متساوي. عرض كل جزء: Δx = (b-a)/n.

المجموع الأوسط: M_n = Δx × Σf((x_{i-1} + x_i)/2)

قاعدة شبه المنحرف: T_n = Δx/2 × [f(x_0) + 2Σf(x_i) + f(x_n)]

3. مثال تطبيقي

قرب ∫₀¹ x² dx باستخدام 4 مستطيلات والمجموع الأوسط.

Δx = 0.25. النقط الوسطى: 0.125, 0.375, 0.625, 0.875.

M_4 = 0.25 × [f(0.125)+f(0.375)+f(0.625)+f(0.875)] = 0.25 × [0.0156+0.1406+0.3906+0.7656] = 0.25 × 1.3125 = 0.3281

القيمة الحقيقية: 1/3 ≈ 0.3333. الخطأ: 0.0052.

4. تمارين

تمرين 1: قرب ∫₁² (1/x)dx باستخدام 5 مستطيلات بطريقة ريمان الوسطى.

تمرين 2: استخدم قاعدة شبه المنحرف مع n=4 لتقريب ∫₀^π sin x dx.

تمرين 3: قارن بين طريقة ريمان الوسطى وقاعدة شبه المنحرف لحساب ∫₀¹ eˣ dx.

للاستزادة: التكامل: القواعد الأساسية والتطبيقات و طرق التكامل والتعويض.

📍 دروس مشابهة

• الرياضيات — الهندسة التحليلية: المنحنيات البارامترية — الثانية ثانوي (شعب علمي
• الرياضيات — المتتاليات العددية: تقارب المتتاليات وحساب النهايات — الثانية ثانو
• الرياضيات — الدوال اللوغاريتمية: المعادلات اللوغاريتمية — الثانية ثانوي (شعب ع