الرياضيات — التحليل: تقريب الدوال بمتعددات تايلور — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

التحليل: تقريب الدوال بمتعددات تايلور

متعددات تايلور (Taylor Series) هي واحدة من أقوى أدوات التقريب في الرياضيات.

1. مبدأ تقريب تايلور

يمكن تقريب دالة قابلة للاشتقاق عند نقطة a بمتعددة قوى تايلور:

f(x) = Σ f^(n)(a)/n! × (x-a)^n

2. متعددات مهمة

e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …

sin x = x – x³/3! + x^5/5! – x^7/7! + …

cos x = 1 – x²/2! + x^4/4! – x^6/6! + …

ln(1+x) = x – x²/2 + x³/3 – x⁴/4 + … (|x|<1)

3. مثال تطبيقي

قرب e^0.5 باستخدام حدود 4 من متعددة تايلور:

e^0.5 ≈ 1 + 0.5 + 0.5²/2 + 0.5³/6 + 0.5^4/24 = 1 + 0.5 + 0.125 + 0.02083 + 0.00260 = 1.64844.

القيمة الحقيقية: e^0.5 = 1.64872. خطأ ضئيل جداً!

4. تمارين

تمرين 1: قرب sin(0.2) باستخدام 3 حدود.

تمرين 2: قرب √e (معناه e^½) باستخدام 5 حدود.

تمرين 3: أثبت أن خطأ تقريب تايلور يصغر بزيادة عدد الحدود.

📍 دروس مشابهة

• الإحصاء: التوزيع الطبيعي (منحنى غاوس) — الثالثة ثانوي–
• المصفوفات: المحددات والخواص — الثالثة ثانوي–
• الهندسة الفضائية: الجداء السلمي في الفضاء — الثالثة ثانوي
• الاحتمال الشرطي: تعريف وخصائص — الثالثة ثانوي