مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
الأعداد العقدية: تمثيل وعمليات
الأعداد العقدية (المركبة) هي توسيع لمجموعة الأعداد الحقيقية لتشمل حلول المعادلات من الشكل x² = −1. ظهرت الحاجة إليها في القرن السادس عشر لحل المعادلات التكعيبية، وأصبحت اليوم أداة أساسية في الرياضيات والفيزياء والهندسة.
تعريف العدد العقدي
العدد العقدي يكتب على الشكل z = a + bi حيث a و b عددان حقيقيان، و i هي الوحدة التخيلية التي تحقق i² = −1.
- a هو الجزء الحقيقي: Re(z) = a
- b هو الجزء التخيلي: Im(z) = b
- إذا كان b = 0، فإن z عدد حقيقي
- إذا كان a = 0، فإن z عدد تخيلي صرف
العمليات على الأعداد العقدية
جمع: (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
طرح: (a+bi) − (c+di) = (a−c) + (b−d)i
ضرب: (a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i
قسمة: (a+bi)/(c+di) = (a+bi)(c−di)/(c²+d²)
التمثيل الهندسي
يمثل العدد العقدي z = a + bi في المستوى العقدي (مستوى أرجاند) بالنقطة (a, b). المسافة من نقطة الأصل إلى النقطة (a,b) تسمى المقياس (Modulus) ويرمز لها بـ |z|.
الزاوية التي يصنعها الشعاع مع المحور الحقيقي الموجب تسمى العمدة (Argument) ويرمز لها بـ arg(z).
الصيغة المثلثية
يمكن كتابة العدد العقدي بالصيغة المثلثية: z = r(cos θ + i sin θ) حيث r = |z| و θ = arg(z).
كما يمكن كتابته بالصيغة الأسية: z = r·eiθ (صيغة أويلر).
مثال تطبيقي
مثال: احسب (2 + 3i) + (4 − i) و (2 + 3i)(1 − i).
الحل: (2+3i)+(4−i) = (2+4)+(3−1)i = 6+2i. (2+3i)(1−i) = 2−2i+3i−3i² = 2+i+3 = 5+i.
تمارين
- احسب: (3 + 2i)(3 − 2i)
- اكتب العدد (1 + i)/(1 − i) على الشكل a + bi
- احسب مقياس العدد z = 3 + 4i
- حل المعادلة: z² + 4 = 0 في مجموعة الأعداد العقدية
للمزيد من المعلومات، راجع درس المعادلات والمتراجحات ودرس الدوال الأسية.
? دروس مشابهة
- الرياضيات — التفاضل: تطبيقات اقتصادية وفيزيائية — الثالثة ثانوي (بكالوريا) – شعبة علوم تجريبية — المنهاج الجزائري
- الرياضيات — الاحتمالات: قوانين الاحتمال — الثالثة ثانوي (بكالوريا) – شعبة علوم تجريبية — المنهاج الجزائري
