الرياضيات — النهايات: حساب النهايات وقواعدها الأساسية — الأولى ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

النهايات: حساب النهايات وقواعدها الأساسية

المستوى: الأولى ثانوي (شعب علمية)

I. مفهوم النهاية

نقول إن lim_x→a f(x) = L (حيث L عدد حقيقي) إذا كانت قيم f(x) تقترب من L كلما اقترب x من a.

نقول إن lim_x→+∞ f(x) = L إذا كانت قيم f(x) تقترب من L كلما كبر x.

II. قواعد حساب النهايات

نهاية مجموع: lim (u+v) = lim u + lim v

نهاية جداء: lim (u·v) = lim u · lim v

نهاية خارج: lim (u/v) = lim u / lim v (إذا كانت lim v ≠ 0)

III. حالات عدم التعيين

هناك 4 حالات عدم تعيين رئيسية:

• ∞ – ∞ (فراغ بين لانهايتين)
• 0/0 (قسمة صفر على صفر)
• ∞/∞ (قسمة لانهاية على لانهاية)
• 0 × ∞ (جداء صفر في لانهاية)

طرق حل حالات عدم التعيين:

• نهاية ∞/∞ في كثيرات الحدود: نأخذ الحد الأعلى درجة بسطاً ومقاماً
• نهاية 0/0: نحلل البسط والمقام ثم نختزل العامل المشترك

IV. نهايات الدوال المرجعية

• lim_x→+∞ x² = +∞, lim_x→-∞ x² = +∞
• lim_x→+∞ 1/x = 0, lim_x→0⁺ 1/x = +∞
• lim_x→+∞ √x = +∞

V. النهايات والمقاربات

إذا كان lim_x→a f(x) = ±∞ فإن المستقيم x = a مقارب عمودي للمنحنى.

إذا كان lim_x→±∞ f(x) = b (عدد حقيقي) فإن المستقيم y = b مقارب أفقي.

تمارين تطبيقية

التمرين 1: احسب lim_x→+∞ (3x² – 2x + 1)/(x² + 5)

التمرين 2: احسب lim_x→2 (x² – 4)/(x – 2)

التمرين 3: عين المقاربات للدالة f(x) = (2x+1)/(x-1)

الحلول:

حل 1: نقسم بسطاً ومقاماً على x²: lim = 3/1 = 3

حل 2: نحلل x² – 4 = (x-2)(x+2): lim_x→2 (x+2) = 4

حل 3: مقارب عمودي x=1, مقارب أفقي y=2 (lim_x→±∞ f(x) = 2)

للمزيد من الدروس، راجع درس تعريف النهايات ودرس دراسة الدوال.