المتراجحات من الدرجة الأولى بمجهول واحد — شرح وحل وتمثيل مع أمثلة وتمارين محلولة — الرياضيات — السنة الثالثة متوسط — المنهاج الجزائري

مفهوم المتراجحة من الدرجة الأولى بمجهول واحد

المتراجحة من الدرجة الأولى بمجهول واحد هي متباينة رياضية من الشكل: ax + b > 0 أو ax + b < 0 أو ax + b ≥ 0 أو ax + b ≤ 0، حيث a عدد حقيقي غير معدوم (a ≠ 0) و b عدد حقيقي.

حل المتراجحة يعني إيجاد جميع قيم x التي تحقق المتباينة.

قواعد حل المتراجحات

• قاعدة 1: نضيف (أو نطرح) نفس العدد من طرفي المتراجحة دون تغيير اتجاهها.
• قاعدة 2: نضرب (أو نقسم) طرفي المتراجحة في نفس العدد الموجب دون تغيير اتجاهها.
• قاعدة 3: نضرب (أو نقسم) طرفي المتراجحة في نفس العدد السالب مع عكس اتجاه المتراجحة.

تمثيل مجموعة الحلول على المستقيم المدرج

نمثل مجموعة الحلول على المستقيم المدرج باستخدام:

• دائرة مفرغة ○ للدلالة على أن الطرف غير شامل ( < أو > )
• دائرة ممتلئة ● للدلالة على أن الطرف شامل ( ≤ أو ≥ )

أمثلة محلولة

مثال 1:

حل المتراجحة: 3x – 5 > 7
الحل:
3x – 5 > 7
3x > 7 + 5 ← نضيف 5 للطرفين
3x > 12
x > 12/3 ← نقسم على 3 (عدد موجب، اتجاه المتراجحة لا يتغير)
x > 4
مجموعة الحلول: {x ∈ ℝ / x > 4}

مثال 2:

حل المتراجحة: -2x + 3 ≤ 11
الحل:
-2x + 3 ≤ 11
-2x ≤ 11 – 3 ← نطرح 3 من الطرفين
-2x ≤ 8
x ≥ 8 ÷ (-2) ← نقسم على -2 (عدد سالب، نعكس اتجاه المتراجحة)
x ≥ -4
مجموعة الحلول: {x ∈ ℝ / x ≥ -4}

مثال 3:

حل المتراجحة: 2(x – 3) + 1 < 3x – 4
الحل:
2x – 6 + 1 < 3x – 4
2x – 5 < 3x – 4
2x – 3x < -4 + 5 ← ننقل الحدود
-x < 1
x > -1 ← نضرب في -1 (نعكس الاتجاه)
x > -1

تمارين محلولة

التمرين 1:

حل المتراجحات التالية ومثل مجموعة حلولها على المستقيم المدرج:
(أ) 5x + 2 ≥ 17
(ب) 4x – 3 < 2x + 7
الحل:
(أ) 5x ≥ 17 – 2 → 5x ≥ 15 → x ≥ 3
(ب) 4x – 2x < 7 + 3 → 2x < 10 → x < 5

التمرين 2:

أوجد مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية التي تحقق المتراجحة: 3(x – 1) ≤ 2x + 5
الحل:
3x – 3 ≤ 2x + 5
3x – 2x ≤ 5 + 3
x ≤ 8
الأعداد الصحيحة الطبيعية التي تحقق: 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8

التمرين 3:

إذا كان محيط مستطيل يساوي على الأكثر 30 cm، وعرضه 5 cm. جد الطول الأقصى الممكن لهذا المستطيل.
الحل:
محيط المستطيل = 2(L + l) ≤ 30
2(L + 5) ≤ 30
L + 5 ≤ 15
L ≤ 10
الطول الأقصى الممكن = 10 cm

خلاصة الدرس

• المتراجحة: ax + b > 0 أو ax + b < 0 أو ax + b ≥ 0 أو ax + b ≤ 0
• نضيف أو نطرح نفس العدد من الطرفين دون تغيير الاتجاه
• نضرب أو نقسم على عدد موجب دون تغيير الاتجاه
• نضرب أو نقسم على عدد سالب مع عكس الاتجاه
• نمثل الحلول على المستقيم المدرج بدائرة مفرغة (غير شامل) أو ممتلئة (شامل)

📍 دروس مشابهة

• المثلثات — نظرية فيثاغورس — حساب أطوال أضلاع المثلث القائم والتحقق من قائمة المث
• الترتيب والعمليات على الأعداد النسبية — مقارنة وجمع وطرح وضرب وقسمة الأعداد النس
• الإزاحة (الانسحاب) في المستوى — العلاقة بين الإزاحة والمتجهات وخصائصها مع أمثلة