الدوران في المستوى — تعريفه وخصائصه وتمثيله مع أمثلة وتمارين محلولة — الرياضيات — السنة الثالثة متوسط — المنهاج الجزائري

مفهوم الدوران في المستوى

الدوران (Rotation) هو تحويل هندسي ينقل كل نقطة M من المستوى إلى نقطة M’ بحيث:

• تبقى المسافة بين M ومركز الدوران O ثابتة: OM’ = OM
• الزاوية (OM, OM’) تساوي زاوية الدوران α (بالدرجات)

يُرمز للدوران الذي مركزه O وزاويته α بـ: R(O, α)

خصائص الدوران

• الدوران يحافظ على المسافات (هو إزاحة)
• الدوران يحافظ على قياس الزوايا
• الدوران يحافظ على استقامية النقط
• الدوران يحافظ على الترتيب (النظام الدائري)
• صورة مستقيم بدوران هو مستقيم
• صورة قطعة مستقيمة بدوران هي قطعة مستقيمة مساوية لها
• صورة دائرة بدوران هي دائرة مساوية لها (نفس نصف القطر)

حالات خاصة للدوران

زاوية الدوران	الوصف	صورة النقطة (x, y)
90° (ربع دورة)	دوران رباعي موجب (عكس عقارب الساعة)	(-y, x)
180° (نصف دورة)	دوران نصف دائري	(-x, -y)
270° (ثلاثة أرباع دورة)	دوران سالب بربع دورة	(y, -x)
360° (دورة كاملة)	دوران كامل (نفس النقطة)	(x, y)

الفرق بين الدوران والتحويلات الأخرى

التحويل	الوصف	المحافظة على المسافات
الإزاحة (الانسحاب)	نقل باتجاه معين	نعم
التناظر المحوري	انعكاس حول مستقيم	نعم
التناظر المركزي	دوران بزاوية 180°	نعم
الدوران	دوران حول نقطة بزاوية α	نعم
التحاكي	تكبير أو تصغير	لا

أمثلة محلولة

مثال 1:

المثلث ABC رأسه A(2, 1)، B(4, 3)، C(1, 5). أوجد صورته بالدوران R(O, 90°) (حيث O هو المبدأ).
الحل:
باستخدام قاعدة دوران 90°: (x, y) → (-y, x)
A(2, 1) → A'(-1, 2)
B(4, 3) → B'(-3, 4)
C(1, 5) → C'(-5, 1)

مثال 2:

أوجد صورة النقطة A(3, -2) بالدوران R(O, 180°).
الحل:
باستخدام قاعدة 180°: (x, y) → (-x, -y)
A(3, -2) → A'(-3, 2)

تمارين محلولة

التمرين 1:

المربع ABCD مركزه O. أحسب صورة هذا المربع بالدوران R(O, 90°) ثم R(O, 180°).
الحل:
بما أن O مركز المربع، فإن الدوران R(O, 90°) ينقل A → B، B → C، C → D، D → A (صورة المربع هي نفس المربع – تطابق ذاتي).
أما R(O, 180°) فينقل A → C، B → D، C → A، D → B.

التمرين 2:

أوجد صورة المستقيم (D): y = 2x + 1 بالدوران R(O, 90°).
الحل:
نأخذ نقطتين على المستقيم: A(0, 1) و B(1, 3)
A(0, 1) → A'(-1, 0)
B(1, 3) → B'(-3, 1)
المستقيم (D’) مار بـ A’ و B’:
معامل التوجيه = (1 – 0)/(-3 + 1) = 1/(-2) = -1/2
(D’): y – 0 = (-1/2)(x + 1) → y = -½x – ½

التمرين 3:

النقطتان A(1, 2) و A'(-2, 1) إحداهما صورة الأخرى بدوران مركزه O. أحسب زاوية الدوران.
الحل:
A(1, 2) → A'(-2, 1)
نلاحظ أن (1, 2) → (-2, 1) = (-y, x)
إذن زاوية الدوران = 90° (عكس عقارب الساعة)

خلاصة الدرس

• الدوران R(O, α) يحول M إلى M’ حيث OM’ = OM والزاوية (OM, OM’) = α
• الدوران يحافظ على المسافات والزوايا والاستقامية
• دوران 90°: (x, y) → (-y, x)
• دوران 180°: (x, y) → (-x, -y) (وهو التناظر المركزي)
• دوران 270°: (x, y) → (y, -x)
• الدوران والتناظر المركزي حالتان خاصتان من التحويلات الهندسية المتساوية الأبعاد

📍 دروس مشابهة

• التحاكي (التكبير والتصغير) في المستوى — مفهوم التحاكي ومعامل التحاكي وتمثيل الأش
• المثلثات — نظرية فيثاغورس — حساب أطوال أضلاع المثلث القائم والتحقق من قائمة المث
• النشر والتحليل باستعمال المتطابقات الشهيرة — تمارين شاملة — الرياضيات — السنة ال