الترتيب والعمليات على الأعداد النسبية — مقارنة وجمع وطرح وضرب وقسمة الأعداد النسبية — الرياضيات — السنة الثالثة متوسط — المنهاج الجزائري

الترتيب والعمليات على الأعداد النسبية — السنة الثالثة متوسط

أهداف الدرس

• أن يتقن التلميذ مقارنة وترتيب الأعداد النسبية.
• أن يتمكن من إجراء العمليات الأربع (جمع، طرح، ضرب، قسمة) على الأعداد النسبية.
• أن يتعرف على قواعد الإشارات في العمليات.
• أن يحل مسائل تطبيقية باستخدام الأعداد النسبية.

أولاً: تذكير — الأعداد النسبية

العدد النسبي هو عدد يمكن كتابته على شكل (frac{a}{b}) حيث a ∈ ℤ و b ∈ ℤ و b ≠ 0.

مجموعة الأعداد النسبية تشمل: الأعداد الطبيعية ℕ، الأعداد الصحيحة ℤ، الأعداد العشرية 𝔻، والكسور.

ثانياً: مقارنة الأعداد النسبية وترتيبها

القاعدة	مثال
إذا كان a > b فإن a – b > 0	7 > 3 لأن 7 – 3 = 4 > 0
إذا كان a < b فإن a – b < 0	2 < 5 لأن 2 – 5 = 3- < 0
لكل عددين نسبيين a و b: a < b ⇔ a – b < 0	مقارنة (frac{3}{4}) و (frac{2}{3})
إذا ضربنا طرفي متباينة في عدد موجب تبقى المتباينة على حالها	2 < 5 ⇒ 2×3 < 5×3 (6 < 15)
إذا ضربنا طرفي متباينة في عدد سالب تنعكس المتباينة	2 < 5 ⇒ 2×(-3) > 5×(-3) (6- > 15-)

ثالثاً: العمليات على الأعداد النسبية

1. الجمع والطرح

قاعدة الإشارات في الجمع:

• لجمع عددين لهما نفس الإشارة: نجمع العددين ونحتفظ بنفس الإشارة.
• لجمع عددين مختلفي الإشارة: نأخذ إشارة الأكبر قيمة ونطرح العددين.

أمثلة:

• (-5) + (-3) = -8
• (+7) + (-2) = +5
• (-8) + (+3) = -5

2. الضرب والقسمة

قاعدة الإشارات في الضرب والقسمة:

الإشارة الأولى	الإشارة الثانية	إشارة النتيجة
+	+	+
–	–	+
+	–	–
–	+	–

أمثلة:

• (+4) × (+5) = +20
• (-3) × (-6) = +18
• (+7) × (-2) = -14
• (-8) ÷ (+2) = -4

رابعاً: أمثلة محلولة

مثال 1: احسب: A = (-15) + (+8) + (-7) + (+12)

الحل: نجمع الموجبين: (+8) + (+12) = +20. نجمع السالبين: (-15) + (-7) = -22. إذن: A = (+20) + (-22) = -2

مثال 2: احسب: B = (-3) × (+5) × (-2)

الحل: نضرب أول عددين: (-3) × (+5) = -15. ثم -15 × (-2) = +30

مثال 3: قارن العددين: (frac{-5}{6}) و (frac{-3}{4})

الحل: نوحد المقامات: (frac{-5}{6} = frac{-10}{12}) و (frac{-3}{4} = frac{-9}{12}). بما أن -10 < -9 فإن (frac{-5}{6} < frac{-3}{4})

تمارين تطبيقية

1. احسب: A = (-12) + (+5) – (-8) + (-3)
2. احسب: B = (-4) × (+6) × (-5) × (+2)
3. قارن: (frac{-7}{8}) و (frac{-5}{6})
4. إذا كان a < b و c عدد سالب، قارن: a×c و b×c
5. رتب تصاعدياً: -12, +8, -5, 0, +3, -1, +10

الخلاصة

• للمقارنة بين عددين نسبيين، نحسب فرقهما ونتأكد من إشارة الفرق.
• ضرب أو قسمة عددين لهما نفس الإشارة يعطي نتيجة موجبة.
• ضرب أو قسمة عددين مختلفي الإشارة يعطي نتيجة سالبة.
• عند ضرب طرفي متباينة في عدد سالب تنعكس علامة المتباينة.