الدوال الخطية والدوال التآلفية — تعريفها وتمثيلها البياني وحساب الصورة والسابقة — الرياضيات — السنة الرابعة متوسط — المنهاج الجزائري

الدوال الخطية والدوال التآلفية — السنة الرابعة متوسط

أهداف الدرس

• أن يتعرف التلميذ على مفهوم الدالة الخطية والدالة التآلفية.
• أن يتمكن من حساب صورة عدد بدالة خطية أو تآلفية.
• أن يمثل الدوال الخطية والتآلفية بيانياً في معلم متعامد.
• أن يحدد معامل الدالة الخطية ومعامل الدالة التآلفية.

أولاً: الدالة الخطية

تعريف: الدالة الخطية هي دالة تُكتب على الشكل: (f(x) = ax) حيث a عدد نسبي يسمى معامل الدالة الخطية.

مثال: (f(x) = 3x)، (g(x) = -2x)، (h(x) = frac{1}{2}x)

خصائص الدالة الخطية:

• صورة العدد 0 هي 0: f(0) = 0
• التمثيل البياني للدالة الخطية هو مستقيم يمر من أصل المعلم (O).
• لرسم الدالة الخطية، نحتاج إلى نقطة واحدة فقط غير نقطة الأصل.

حساب الصورة:

لحساب صورة عدد x بالدالة f(x) = ax، نعوض x بقيمته.

مثال: لتكن f(x) = 4x. أحسب صور الأعداد: 2، -3، 0.

• f(2) = 4 × 2 = 8
• f(-3) = 4 × (-3) = -12
• f(0) = 4 × 0 = 0

ثانياً: الدالة التآلفية

تعريف: الدالة التآلفية هي دالة تُكتب على الشكل: (f(x) = ax + b) حيث:

• a عدد نسبي يسمى معامل الدالة (أو الميل).
• b عدد نسبي يسمى الحد الثابت (أو الترتيب عند الأصل).

مثال: (f(x) = 2x + 3)، (g(x) = -x + 1)، (h(x) = frac{1}{3}x – 2)

خصائص الدالة التآلفية:

• صورة العدد 0 هي b: f(0) = b
• التمثيل البياني للدالة التآلفية هو مستقيم لا يمر من أصل المعلم (إلا إذا كان b = 0).
• لرسم الدالة التآلفية، نحتاج إلى نقطتين.

ثالثاً: التمثيل البياني

الخاصية	الدالة الخطية f(x) = ax	الدالة التآلفية f(x) = ax + b
الشكل العام	f(x) = ax	f(x) = ax + b
التمثيل البياني	مستقيم يمر من O	مستقيم لا يمر من O
عدد النقاط للرسم	نقطة واحدة + O	نقطتان
صورة 0	f(0) = 0	f(0) = b

رابعاً: إيجاد الدالة من تمثيلها البياني

حالة الدالة الخطية: نقرأ إحداثيات نقطة على المستقيم (غير O)، ثم: a = y ÷ x

حالة الدالة التآلفية: نقرأ إحداثيات نقطتين (x₁, y₁) و (x₂, y₂)، ثم نحسب: a = (y₂ – y₁) ÷ (x₂ – x₁) ثم نجد b بالتعويض.

خامساً: أمثلة محلولة

مثال 1: لتكن f دالة خطية حيث f(3) = 12. أوجد معامل الدالة a، ثم اكتب عبارتها.

الحل: f(x) = ax ⇒ f(3) = a×3 = 12 ⇒ a = 12 ÷ 3 = 4. إذن: f(x) = 4x.

مثال 2: لتكن g دالة تآلفية حيث g(1) = 5 و g(3) = 11. أوجد عبارة g(x).

الحل: g(x) = ax + b. نحسب a: a = (11 – 5) ÷ (3 – 1) = 6 ÷ 2 = 3. نعوض في g(1): 3×1 + b = 5 ⇒ b = 2. إذن: g(x) = 3x + 2.

تمارين تطبيقية

1. لتكن f(x) = -3x. أحسب: f(4)، f(-2)، f(0).
2. لتكن g(x) = 2x – 5. أحسب: g(3)، g(-1)، g(0).
3. مثل بيانياً الدالة f(x) = 2x في معلم متعامد.
4. دالة خطية حيث f(5) = -15. أوجد عبارتها.
5. دالة تآلفية حيث g(2) = 7 و g(5) = 19. أوجد عبارتها.

الخلاصة

• الدالة الخطية: f(x) = ax — تمثيلها مستقيم يمر من الأصل.
• الدالة التآلفية: f(x) = ax + b — تمثيلها مستقيم لا يمر من الأصل.
• لحساب معامل الدالة الخطية: a = f(x) ÷ x (x ≠ 0).
• لحساب معامل الدالة التآلفية: a = فرق الصور ÷ فرق السوابق.
• التمثيل البياني يساعد على فهم سلوك الدالة.