مبرهنة طاليس في المثلث: النظرية المباشرة والعكسية مع تمارين محلولة — الرياضيات — الأولى ثانوي — المنهاج الجزائري

مبرهنة طاليس في المثلث: النظرية المباشرة والعكسية

الأهداف التعليمية:

• التعرف على مبرهنة طاليس في المثلث (النظرية المباشرة)
• تمييز الحالات التي تطبق فيها مبرهنة طاليس
• تطبيق مبرهنة طاليس العكسية لحساب الأطوال وإثبات التوازي
• استخدام مبرهنة طاليس في حل مسائل الهندسة

أولاً: مبرهنة طاليس المباشرة

إذا كان في مثلث ABC مستقيم يمر بنقطتين من ضلعين ويوازي الضلع الثالث، فإن هذا المستقيم يحدد على الضلعين أطوالاً متناسبة.

النص الرياضي: في المثلث ABC، إذا كان (MN) يوازي (BC) حيث M ∈ [AB] و N ∈ [AC]، فإن:

AM / AB = AN / AC = MN / BC

ثانياً: مبرهنة طاليس العكسية

إذا كانت النقط A, M, B على استقامة واحدة (M بين A و B أو خارج [AB])، والنقط A, N, C على استقامة واحدة (N بين A و C أو خارج [AC])، وكانت النسب متساوية (AM/AB = AN/AC)، فإن المستقيمين (MN) و (BC) متوازيان.

ثالثاً: أمثلة تطبيقية محلولة

مثال 1: في المثلث ABC، M ∈ [AB] و N ∈ [AC]، (MN) // (BC). إذا علمت أن AB = 12 cm، AM = 8 cm، AC = 9 cm، فاحسب AN.

الحل:
بتطبيق مبرهنة طاليس: AM/AB = AN/AC
8/12 = AN/9
AN = (8 × 9) / 12 = 72/12 = 6 cm.

مثال 2: في المثلث ABC، AB = 15 cm، AC = 10 cm، BC = 12 cm. النقطة M ∈ [AB] حيث AM = 6 cm. المستقيم الموازي لـ (BC) والمار من M يقطع [AC] في N. أحسب AN و MN.

الحل:
بتطبيق مبرهنة طاليس: AM/AB = AN/AC = MN/BC
6/15 = AN/10 إذن AN = (6×10)/15 = 60/15 = 4 cm
6/15 = MN/12 إذن MN = (6×12)/15 = 72/15 = 4.8 cm

رابعاً: تمارين محلولة

التمرين: في المثلث ABC، M ∈ [AB] و N ∈ [AC]. إذا كان AB = 20، AM = 5، AC = 16، AN = 4، فهل (MN) // (BC)؟

الحل:
نحسب النسب: AM/AB = 5/20 = 1/4
AN/AC = 4/16 = 1/4
بما أن AM/AB = AN/AC، وبحسب مبرهنة طاليس العكسية فإن (MN) // (BC).

دروس مشابهة

• المعادلات والمتراجحات من الدرجة الثانية بمجهول واحد — الرياضيات — الأولى ثانوي
• الدوال المرجعية: الدالة الخطية والدالة التآلفية — الرياضيات — الأولى ثانوي

—
لمزيد من الدروس في الرياضيات للمرحلة الثانوية، تصفح أقسام الموقع.