المعادلات والمتراجحات من الدرجة الثانية بمجهول واحد: شرح وأمثلة وتمارين محلولة — الرياضيات — الأولى ثانوي — المنهاج الجزائري

المعادلات والمتراجحات من الدرجة الثانية بمجهول واحد

📌 الأهداف التعليمية:

• حل معادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد (ax² + bx + c = 0)
• حساب المميز Δ وتحديد عدد الحلول
• حل متراجحات من الدرجة الثانية ودراسة إشارة ثلاثي الحدود
• تطبيق المعادلات والمتراجحات في مسائل حياتية

📖 الشرح النظري:

1. تعريف المعادلة من الدرجة الثانية:
كل معادلة على الشكل ax² + bx + c = 0 حيث a ≠ 0 تسمى معادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد.

2. حل المعادلة باستخدام المميز Δ:
المميز Δ = b² − 4ac
– إذا كان Δ > 0: للمعادلة حلان حقيقيان مختلفان: x₁ = (−b + √Δ) / 2a و x₂ = (−b − √Δ) / 2a
– إذا كان Δ = 0: للمعادلة حل مضاعف: x₀ = −b / 2a
– إذا كان Δ < 0: لا يوجد حلول حقيقية

3. إشارة ثلاثي الحدود ax² + bx + c:
– إذا كان Δ > 0: إشارة a خارج الحلين وإشارة −a بينهما
– إذا كان Δ = 0: إشارة a لكل x ≠ x₀
– إذا كان Δ < 0: إشارة a لكل x

📝 مثال تطبيقي:

حل المعادلة: 2x² − 5x + 2 = 0
a = 2، b = −5، c = 2
Δ = (−5)² − 4×2×2 = 25 − 16 = 9 > 0
x₁ = (5 + 3) / 4 = 2، x₂ = (5 − 3) / 4 = 0.5
مجموعة الحلول: S = {0.5; 2}

📝 تمارين محلولة:

التمرين 1: حل المعادلة x² − 6x + 9 = 0
Δ = 36 − 36 = 0 → حل مضاعف x = 3

التمرين 2: حل المتراجحة x² − 4x + 3 > 0
Δ = 16 − 12 = 4 > 0، x₁ = 1، x₂ = 3
إشارة a موجبة → الحل: x ∈ ]−∞; 1[ ∪ ]3; +∞[

🏆 تمرين بكالوريا:

مستطيل طوله يزيد عن عرضه بـ 4 cm ومساحته 96 cm². أوجد بعديه.
نضع العرض = x، الطول = x + 4
x(x + 4) = 96 → x² + 4x − 96 = 0
Δ = 16 + 384 = 400 → x = 8 cm (الحل الموجب)
إذن: العرض 8 cm والطول 12 cm.

🔗 دروس مشابهة:

• الدوال العددية: مجموعة التعريف والتغيرات
• مقاييس التشتت: المدى والتباين والانحراف المعياري