الحساب الحرفي — النشر والتعميل (العامل المشترك) — الرياضيات — السنة الثانية متوسط — المنهاج الجزائري

مقدمة

الحساب الحرفي هو فرع من الرياضيات نستعمل فيه الحروف (x, y, a, b …) لتمثيل أعداد غير معروفة أو متغيرات. يساعدنا الحساب الحرفي على تعميم القواعد الرياضية وحل المعادلات والمسائل. في هذا الدرس، سنتعلم أهم عمليات الحساب الحرفي: النشر والتعميل.

أهداف الدرس

• التعرف على مفهوم الحساب الحرفي وأهميته
• فهم تقنية نشر جداء في مجموع أو فرق
• إتقان تقنية التعميل بإخراج العامل المشترك
• تطبيق هذه التقنيات في حل مسائل متنوعة

I — مدخل إلى الحساب الحرفي

تعريف: العبارة الحرفية (Expression littérale) هي عبارة تحتوي على أعداد وحروف تربط بينها عمليات رياضية.

مثال: A = 3x + 5y − 2 هي عبارة حرفية فيها x و y حرفان.

تبسيط عبارة حرفية: نجمع الحدود المتشابهة (التي لها نفس الجزء الحرفي).

مثال: 3x + 5x − 2x = (3 + 5 − 2)x = 6x

II — النشر (Développement)

1. نشر جداء في مجموع

القاعدة: a × (b + c) = a × b + a × c

نضرب العامل a في كل حد من حدود المجموع (b و c).

مثال 1: A = 3(x + 2) = 3 × x + 3 × 2 = 3x + 6

مثال 2: B = 2x(3x − 5) = 2x × 3x − 2x × 5 = 6x² − 10x

مثال 3: C = −4(2x + 3) = −4 × 2x + (−4) × 3 = −8x − 12

2. نشر جداء في فرق

القاعدة: a × (b − c) = a × b − a × c

مثال: D = 5(2x − 3) = 10x − 15

3. نشر جداء مقدارين

القاعدة: (a + b)(c + d) = a×c + a×d + b×c + b×d

نضرب كل حد من المقدار الأول في كل حد من المقدار الثاني.

مثال 1: E = (x + 2)(x + 3) = x×x + x×3 + 2×x + 2×3 = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6

مثال 2: F = (2x − 1)(x + 4) = 2x×x + 2x×4 − 1×x − 1×4 = 2x² + 8x − x − 4 = 2x² + 7x − 4

III — التعميل (Factorisation)

1. تعريف

التعميل هو تحويل مجموع أو فرق إلى جداء (ضرب). هي العملية العكسية للنشر.

2. التعميل بإخراج العامل المشترك

القاعدة: k × a + k × b = k × (a + b) حيث k هو العامل المشترك

نبحث عن عامل مشترك بين جميع حدود العبارة (عددي أو حرفي) ونخرجه.

مثال 1: A = 6x + 12 = 6 × x + 6 × 2 = 6(x + 2)

مثال 2: B = 5x² − 15x = 5x × x − 5x × 3 = 5x(x − 3)

مثال 3: C = (x + 1)(2x − 3) + (x + 1)(x + 5)

العامل المشترك هو (x + 1):
C = (x + 1)[(2x − 3) + (x + 5)] C = (x + 1)(2x − 3 + x + 5)
C = (x + 1)(3x + 2)

IV — جدول تلخيصي

العملية	القاعدة	مثال
النشر البسيط	a(b + c) = ab + ac	3(x + 2) = 3x + 6
نشر جداء مقدارين	(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd	(x + 1)(x + 2) = x² + 3x + 2
التعميل (عامل مشترك)	ka + kb = k(a + b)	6x + 9 = 3(2x + 3)

خلاصة

النشر والتعميل عمليتان متعاكستان في الحساب الحرفي. النشر يحول جداء إلى مجموع، بينما التعميل يحول مجموعاً إلى جداء. إتقان هاتين التقنيتين أساسي لحل المعادلات وتبسيط العبارات الحرفية في الرياضيات.

تمارين محلولة

التمرين 1: انشر وبسط

A = 2(3x + 4) − 5(x − 1)

الحل:
A = 6x + 8 − 5x + 5
A = (6x − 5x) + (8 + 5)
A = x + 13

التمرين 2: عمل العبارات التالية

B = 12x + 18

الحل:
B = 6 × 2x + 6 × 3
B = 6(2x + 3)

التمرين 3: للتفكير

عمل العبارة: C = (x − 3)(2x + 1) − (x − 3)(x − 2)

الحل:
العامل المشترك هو (x − 3):
C = (x − 3)[(2x + 1) − (x − 2)] C = (x − 3)(2x + 1 − x + 2)
C = (x − 3)(x + 3)