الهندسة في الفضاء — الموشور القائم والأسطوانة القائمة — المساحة الجانبية والحجم — الرياضيات — السنة الثانية متوسط — المنهاج الجزائري

مقدمة

الهندسة في الفضاء تدرس المجسمات ثلاثية الأبعاد. في هذا الدرس، سنتعرف على مجسمين مهمين: الموشور القائم والأسطوانة القائمة، ونتعلم كيفية حساب المساحة الجانبية والكلية والحجم لكل منهما.

أهداف الدرس

• التعرف على خصائص الموشور القائم والأسطوانة القائمة
• حساب المساحة الجانبية والكلية لهذه المجسمات
• حساب حجم الموشور القائم والأسطوانة القائمة
• تطبيق هذه المفاهيم في مسائل من الحياة اليومية

I — الموشور القائم

1. تعريف وخصائص

الموشور القائم هو مجسم له قاعدتان متوازيتان ومتطابقتان على شكل مضلع، وأوجه جانبية مستطيلة قائمة على القاعدتين.

مكونات الموشور القائم:

• القاعدتان: مضلعان متطابقان ومتوازيان
• الأوجه الجانبية: مستطيلات، عددها يساوي عدد أضلاع القاعدة
• الأحرف الجانبية: متقابلة ومتوازية ومتساوية في الطول
• الارتفاع: البعد العمودي بين القاعدتين

2. حساب المساحة الجانبية

المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع

S_ج = P_قاعدة × h

3. حساب المساحة الكلية

المساحة الكلية = المساحة الجانبية + 2 × مساحة القاعدة

S_ك = S_ج + 2 × B

4. حساب الحجم

حجم الموشور القائم = مساحة القاعدة × الارتفاع

V = B × h

II — الأسطوانة القائمة

1. تعريف وخصائص

الأسطوانة القائمة هي مجسم قاعدتان دائرتان متوازيتان ومتطابقتان.

مكونات الأسطوانة القائمة:

• القاعدتان: دائرتان متطابقتان ومتوازيتان نصف قطرهما r
• الارتفاع: البعد العمودي بين القاعدتين (h)
• السطح الجانبي: مستطيل ملتف بعداه محيط الدائرة (2πr) والارتفاع (h)

2. حساب المساحة الجانبية

S_ج = 2πr × h

3. حساب المساحة الكلية

S_ك = 2πr × h + 2 × πr² = 2πr(h + r)

4. حساب الحجم

V = πr² × h

III — جدول تلخيصي

المجسم	المساحة الجانبية	المساحة الكلية	الحجم
الموشور القائم	Pقاعدة × h	Sج + 2B	B × h
الأسطوانة القائمة	2πr × h	2πr(h + r)	πr² × h

خلاصة

لحساب مساحة أو حجم مجسم في الفضاء، نحدد أولاً نوع المجسم ثم نطبق القوانين المناسبة. الموشور القائم والأسطوانة القائمة يشتركان في أن حجم كل منهما = مساحة القاعدة × الارتفاع.

تمارين محلولة

التمرين 1: موشور قائم

موشور قائم قاعدته مربع طول ضلعه 4 cm وارتفاعه 15 cm. احسب مساحته الجانبية وحجمه.

الحل:
محيط القاعدة = 4 × 4 = 16 cm
المساحة الجانبية = 16 × 15 = 240 cm²
مساحة القاعدة = 4 × 4 = 16 cm²
الحجم = 16 × 15 = 240 cm³

التمرين 2: أسطوانة قائمة

خزان ماء أسطواني الشكل نصف قطره 1.4 m وارتفاعه 2.5 m. احسب حجم الخزان.

الحل:
مساحة القاعدة = πr² = 3.14 × 1.4² = 3.14 × 1.96 = 6.1544 m²
الحجم = B × h = 6.1544 × 2.5 = 15.386 m³
أي سعة الخزان ≈ 15,386 لتر