مقاييس التشتت: المدى والتباين والانحراف المعياري مع تمارين محلولة — الرياضيات — الأولى ثانوي — المنهاج الجزائري

📊 الأهداف التعليمية

• حساب المدى لمجموعة إحصائية
• حساب التباين بطريقتي الوسط الحسابي والانحراف
• حساب الانحراف المعياري وفهم دلالته
• تطبيق مقاييس التشتت في تحليل البيانات الإحصائية

📝 شرح الدرس

1. تعريف مقاييس التشتت

مقاييس التشتت هي قيم إحصائية تصف مقدار توزع أو انتشار البيانات حول القيمة المركزية (الوسط الحسابي). كلما كان التشتت صغيراً، كانت البيانات متجمعة حول الوسط، وكلما كان التشتت كبيراً، كانت البيانات متفرقة.

2. المدى (Étendue)

المدى هو أبسط مقاييس التشتت، ويساوي الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة في السلسلة الإحصائية.

الصيغة: R = x_max − x_min

3. التباين (Variance)

التباين هو متوسط مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي.

تباين سلسلة إحصائية بسيطة: V = (Σ(xi − x̄)²) / N

تباين سلسلة إحصائية بالميزان: V = (Σ fi × (xi − x̄)²) / N

4. الانحراف المعياري (Écart type)

الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي للتباين، ويعبر عن التشتت بنفس وحدة القياس الأصلية للبيانات.

الصيغة: σ = √V

🧮 مثال تطبيقي

السلسلة: 6, 8, 4, 9, 3

الوسط الحسابي: x̄ = (6+8+4+9+3)/5 = 30/5 = 6

المدى: R = 9 − 3 = 6

التباين:

V = [(6−6)² + (8−6)² + (4−6)² + (9−6)² + (3−6)²] / 5

V = [0 + 4 + 4 + 9 + 9] / 5 = 26/5 = 5.2

الانحراف المعياري: σ = √5.2 ≈ 2.28

📌 تمرين بكالوريا محلول

في امتحان الرياضيات، كانت علامات 10 تلاميذ كالتالي:

12, 15, 8, 14, 10, 17, 9, 13, 16, 11

1. أحسب الوسط الحسابي للعلامات.

x̄ = (12+15+8+14+10+17+9+13+16+11)/10 = 125/10 = 12.5

2. أحسب المدى.

R = 17 − 8 = 9

3. أحسب التباين والانحراف المعياري.

V = [(12−12.5)² + (15−12.5)² + (8−12.5)² + (14−12.5)² + (10−12.5)² + (17−12.5)² + (9−12.5)² + (13−12.5)² + (16−12.5)² + (11−12.5)²] / 10

V = [0.25 + 6.25 + 20.25 + 2.25 + 6.25 + 20.25 + 12.25 + 0.25 + 12.25 + 2.25] / 10 = 82.5/10 = 8.25

σ = √8.25 ≈ 2.87

التفسير: متوسط انحراف علامات التلاميذ عن الوسط الحسابي (12.5) هو حوالي 2.87 درجة، مما يدل على تباين متوسط في المستوى.

🔗 دروس مشابهة

• الهندسة الفضائية: الأسطوانة والكرة مع تمارين محلولة
• الطاقة الحرارية والتحولات الطاقوية مع تمارين محلولة