المتتاليات الحسابية والمتتاليات الهندسية: تعريف ودراسة ورتابة مع تمارين بكالوريا محلولة — الرياضيات — الثانية ثانوي — المنهاج الجزائري

🎯 الأهداف التعليمية

• التعرف على مفهوم المتتالية العددية وطرق تعريفها
• التمييز بين المتتالية الحسابية والمتتالية الهندسية
• حساب الحد العام لمتتالية حسابية وهندسية
• تحديد رتابة متتالية (متزايدة، متناقصة، ثابتة)
• تطبيق المتتاليات في حل مسائل الحياة الواقعية

📝 شرح الدرس

1. تعريف المتتالية العددية (Suite numérique)

المتتالية العددية هي دالة معرفة على مجموعة الأعداد الطبيعية ℕ أو جزء منها، وترمز لها بـ (uₙ) حيث uₙ هو الحد العام للمتتالية.

2. المتتالية الحسابية (Suite arithmétique)

المتتالية الحسابية هي متتالية يكون فيها الفرق بين كل حدين متتاليين ثابتاً، يسمى أساس المتتالية ويرمز له بـ r.

العلاقة التكرارية: uₙ₊₁ = uₙ + r

الحد العام: uₙ = u₀ + n × r (إذا بدأنا من u₀)

أو: uₙ = u₁ + (n−1) × r (إذا بدأنا من u₁)

مجموع أول n حد: Sₙ = n × (u₀ + uₙ₋₁) / 2

3. المتتالية الهندسية (Suite géométrique)

المتتالية الهندسية هي متتالية يكون فيها خارج قسمة كل حدين متتاليين ثابتاً، يسمى الأساس ويرمز له بـ q.

العلاقة التكرارية: uₙ₊₁ = uₙ × q

الحد العام: uₙ = u₀ × qⁿ

مجموع أول n حد (إذا q ≠ 1): Sₙ = u₀ × (1 − qⁿ) / (1 − q)

4. رتابة المتتالية (Monotonie)

• متزايدة: uₙ₊₁ − uₙ > 0 (أو uₙ₊₁ / uₙ > 1 لمتتالية موجبة)
• متناقصة: uₙ₊₁ − uₙ < 0 (أو uₙ₊₁ / uₙ < 1 لمتتالية موجبة)
• ثابتة: uₙ₊₁ − uₙ = 0

🧮 أمثلة تطبيقية

مثال 1 (متتالية حسابية): u₀ = 3، r = 2

u₁ = 3 + 2 = 5، u₂ = 7، u₃ = 9، u₄ = 11

الحد العام: uₙ = 3 + 2n

مثال 2 (متتالية هندسية): u₀ = 2، q = 3

u₁ = 2×3 = 6، u₂ = 18، u₃ = 54، u₄ = 162

الحد العام: uₙ = 2 × 3ⁿ

📌 تمرين بكالوريا محلول

يقوم تلميذ بحفظ 10 كلمات إنجليزية جديدة في الأسبوع الأول من الدراسة، ثم يقرر زيادة عدد الكلمات التي يحفظها أسبوعياً بمقدار 5 كلمات ثابتة كل أسبوع.

1. أكتب المتتالية التي تمثل عدد الكلمات المحفوظة كل أسبوع. ما نوعها؟

المتتالية من نوع حسابية لأن الزيادة ثابتة (r = 5). u₁ = 10

uₙ = 10 + (n−1) × 5 = 5n + 5

2. كم كلمة سيحفظها في الأسبوع العاشر؟

u₁₀ = 10 + 9 × 5 = 10 + 45 = 55 كلمة

3. كم مجموع الكلمات المحفوظة بعد 12 أسبوعاً؟

S₁₂ = 12 × (u₁ + u₁₂) / 2 = 12 × (10 + 65) / 2 = 12 × 75 / 2 = 450 كلمة

🔗 دروس مشابهة

• The Future Perfect Tense: Formation, Uses and BAC-Style Exercises
• الطفرات الوراثية: مفهومها وأنواعها وأسبابها مع تمارين بكالوريا محلولة