نظرية طالس (مبرهنة طالس) — شرح مفصل مع أمثلة وتمارين محلولة — الرياضيات — السنة الثالثة متوسط — المنهاج الجزائري

مقدمة عن نظرية طالس

نظرية طالس (أو مبرهنة طالس) هي إحدى النظريات الأساسية في الهندسة، وتتعلق بالتناسب بين أطوال القطع المستقيمة الناتجة عن تقاطع مستقيمين متقاطعين بمستقيمين متوازيين. سُميت بهذا الاسم نسبة إلى العالم اليوناني طالس ميليتوس.

نظرية طالس المباشرة

النص: إذا قطع مستقيمان متقاطعان بمستقيمين متوازيين، فإن أطوال القطع المستقيمة المحصورة بينهما تكون متناسبة.

بمعنى آخر: إذا كان لدينا مستقيمان (d₁) و (d₂) يتقاطعان في نقطة A، وقطعا بمستقيمين متوازيين (L₁) و (L₂) على الترتيب في النقاط B, C, D, E كما في الشكل، فإن:

AB/AD = AC/AE = BC/DE

حالات تطبيق نظرية طالس

1. الحالة الأولى: مستقيمان متقاطعان يقطعان بمتوازيين
2. الحالة الثانية: مستقيمان متقاطعان يقطعان بثلاثة متوازيات أو أكثر

أمثلة محلولة

مثال 1:

في الشكل، المستقيمان (AB) و (AC) يتقاطعان في A ويقطعان بمستقيمين متوازيين (DE) // (BC).

المعطيات: AD = 3 cm, AE = 4 cm, BC = 10 cm, DE = 5 cm

المطلوب: حساب AB و AC

الحل:
باستخدام نظرية طالس: AD/AB = AE/AC = DE/BC

3/AB = 5/10 → AB = (3 × 10)/5 = 30/5 = 6 cm

4/AC = 5/10 → AC = (4 × 10)/5 = 40/5 = 8 cm

مثال 2:

مستقيمان (d₁) و (d₂) يتقاطعان في O ويقطعان بمتوازيين (L₁) و (L₂). إذا كان OA = 4, OB = 6, OC = 5, فاحسب OD.

الحل:
OA/OB = OC/OD → 4/6 = 5/OD

OD = (6 × 5)/4 = 30/4 = 7.5

عكس نظرية طالس

النص: إذا قطع مستقيمان متقاطعان بمستقيمين، وكانت أطوال القطع المستقيمة متناسبة، فإن المستقيمين الواصلين بين النقاط متوازيان.

تطبيقه: نستعمل عكس نظرية طالس للبرهنة على أن مستقيمين متوازيان أو أن نقطة تنتمي إلى مستقيم.

تمارين

1. في مثلث ABC، النقطة D تنتمي إلى [AB] والنقطة E تنتمي إلى [AC] بحيث (DE) // (BC). إذا كان AD = 5, DB = 3, AE = 6. احسب EC و AC.
2. مستقيمان متقاطعان يقطعان بمتوازيين. إذا كانت أطوال القطع هي: 3, 5, 6, x. احسب x.
3. أثبت باستعمال عكس نظرية طالس أن المستقيمين (AB) و (CD) متوازيان إذا كانت النسب متساوية.

خلاصة

نظرية طالس أداة قوية في الهندسة لحساب الأطوال المجهولة وإثبات التوازي. تتطلب إتقان التناسب بين القطع المستقيمة. يجب التدرب على تطبيقها في أشكال مختلفة (مثلث، مستقيمان متقاطعان، …).