الزوايا الموجهة والقياس المثلثي: الدائرة المثلثية والعلاقات الأساسية — الرياضيات — الأولى ثانوي — المنهاج الجزائري

الزوايا الموجهة والقياس المثلثي — الدائرة المثلثية

الأهداف التعليمية:

• تعريف الزاوية الموجهة في المستوى
• التعرف على الدائرة المثلثية
• قوانين الزوايا المتتامة والمتكاملة والمتقابلة
• إيجاد قياس زاوية انطلاقاً من نقطة على الدائرة المثلثية

I. الزاوية الموجهة

الزاوية الموجهة هي زاوية بين شعاعين في المستوى، تقاس بالراديان أو الدرجات. قياسها موجب إذا كان الدوران عكس عقارب الساعة وسالب إذا كان مع عقارب الساعة.

II. الدائرة المثلثية

هي دائرة نصف قطرها 1 ومركزها O. النقطة M(x, y) على الدائرة تحقق x² + y² = 1. إذا كان θ هو قياس الزاوية الموجهة (Ox, OM) فإن:
cos θ = x و sin θ = y

III. العلاقات الأساسية

العلاقة الأساسية: cos²θ + sin²θ = 1

الزاويتان المتتامتان: sin(π/2 − θ) = cos θ ، cos(π/2 − θ) = sin θ

الزاويتان المتكاملتان: sin(π − θ) = sin θ ، cos(π − θ) = −cos θ

الزاويتان المتقابلتان: sin(−θ) = −sin θ ، cos(−θ) = cos θ

الزاويتان المتتامتان (مجموعهما π): sin(π + θ) = −sin θ ، cos(π + θ) = −cos θ

IV. النسب المثلثية للزوايا الخاصة

θ	0	π/6 (30°)	π/4 (45°)	π/3 (60°)	π/2 (90°)
sin θ	0	1/2	√2/2	√3/2	1
cos θ	1	√3/2	√2/2	1/2	0
tan θ	0	1/√3	1	√3	غير معرف

تمرين محلول

احسب sin(5π/6) و cos(5π/6).

الحل: 5π/6 = π − π/6
sin(π − π/6) = sin(π/6) = 1/2
cos(π − π/6) = −cos(π/6) = −√3/2

دروس مشابهة:

• النسب المثلثية في مثلث قائم الزاوية (sin, cos, tan)
• الهندسة التحليلية: المستقيم في المستوى
• المثلثات: أنواعها وخواصها (فيثاغورس وطالس)