المثلثات: أنواعها وخواصها (فيثاغورس وطالس) مع تمارين محلولة — الأولى ثانوي — الرياضيات — المنهاج الجزائري

الدرس: المثلثات — خواص المثلثات ونظرياتها مع تمارين محلولة

الأهداف التعليمية:

• أن يتعرف التلميذ على أنواع المثلثات حسب الأضلاع والزوايا
• أن يطبق نظريات المثلث القائم (فيثاغورس)
• أن يستخدم نظرية طالس في حساب الأطوال
• أن يحسب المساحات والمحيطات

أولاً: تصنيف المثلثات

حسب الأضلاع:

• مثلث متساوي الأضلاع: جميع أضلاعه متساوية، وقياس كل زاوية 60°.
• مثلث متساوي الساقين: فيه ضلعان متساويان، وزاويتا القاعدتين متساويتان.
• مثلث مختلف الأضلاع: جميع أضلاعه مختلفة الأطوال.

حسب الزوايا:

• مثلث قائم الزاوية: فيه زاوية قائمة (90°)، والضلع المقابل للزاوية القائمة يسمى الوتر.
• مثلث حاد الزوايا: جميع زواياه حادة (أقل من 90°).
• مثلث منفرج الزاوية: فيه زاوية منفرجة (أكبر من 90°).

ثانياً: نظرية فيثاغورس

النظرية: في المثلث القائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين.

ABC مثلث قائم في A، فإن: BC² = AB² + AC²

العكس: إذا كان في مثلث مربع طول أطول ضلع يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، فإن المثلث قائم الزاوية.

ثالثاً: نظرية طالس (مقدمة)

النظرية: إذا كان مستقيمان متوازيان يقطعان ضلعي زاوية، فإن الأطوال المتقابلة متناسبة.

في المثلث ABC، إذا كان (MN) // (BC) فإن: AM/AB = AN/AC = MN/BC

رابعاً: مساحة المثلث ومحيطه

مساحة المثلث = (1/2) × طول القاعدة × الارتفاع
محيط المثلث = مجموع أطوال أضلاعه الثلاثة

تمارين محلولة:

التمرين 1: في المثلث ABC قائم في A، فيه AB = 3 cm و AC = 4 cm. احسب BC.
الحل: حسب نظرية فيثاغورس: BC² = AB² + AC² = 9 + 16 = 25، إذن BC = √25 = 5 cm.

التمرين 2: مثلث أطوال أضلاعه 6 cm و 8 cm و 10 cm. هل هو قائم الزاوية؟
الحل: 10² = 100 و 6² + 8² = 36 + 64 = 100. إذن 10² = 6² + 8²، فالمثلث قائم الزاوية.

التمرين 3: في المثلث ABC، (MN) // (BC)، حيث M ∈ AB، N ∈ AC. إذا كان AM = 4 cm، AB = 10 cm، AN = 3 cm، فاحسب AC.
الحل: حسب نظرية طالس: AM/AB = AN/AC → 4/10 = 3/AC → AC = (3 × 10) / 4 = 7.5 cm.

دروس مشابهة:

• الأعداد الحقيقية والعمليات عليها — الرياضيات — الأولى ثانوي
• المرجح في المستوى (Barycentre) — الرياضيات — الأولى ثانوي