الأعداد الحقيقية والعمليات عليها: القوى والجذور ومقارنة الأعداد — الرياضيات — الأولى ثانوي — المنهاج الجزائري

الأولى ثانوي, تربية وتعليم, دروس الثانوي ضع تعليق

الأعداد الحقيقية والعمليات عليها: القوى والجذور ومقارنة الأعداد — الرياضيات — الأولى ثانوي — المنهاج الجزائري

الأهداف التعليمية

التعرف على مجموعة الأعداد الحقيقية ℝ
إجراء العمليات على القوى (الأسس الصحيحة والكسرية)
حساب الجذور التربيعية والجذور النونية
مقارنة الأعداد الحقيقية وترتيبها

I. مجموعة الأعداد الحقيقية ℝ

الأعداد الحقيقية تشمل:

ℕ (الأعداد الطبيعية): 0, 1, 2, 3, …
ℤ (الأعداد الصحيحة النسبية): …, -2, -1, 0, 1, 2, …
𝔻 (الأعداد العشرية): 3.14, -0.5, 2.718
ℚ (الأعداد النسبية – الكسور): ½, ¾, -⅓
ℝ \ ℚ (الأعداد غير النسبية): √2, π, e

العلاقة بين المجموعات: ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ

II. القوى (الأسس)

أ. قواعد القوى (لـ a ∈ ℝ و m,n ∈ ℤ):

القاعدة	الصيغة	مثال
جداء القوى	a^m × aⁿ = a^m+n	2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128
قسمة القوى	a^m ÷ aⁿ = a^m-n	5⁶ ÷ 5² = 5⁴ = 625
قوة قوة	(a^m)ⁿ = a^m×n	(3²)³ = 3⁶ = 729
قوة جداء	(a×b)ⁿ = aⁿ × bⁿ	(2×3)² = 2² × 3² = 36
قوة خارج القسمة	(a/b)ⁿ = aⁿ / bⁿ	(4/2)³ = 4³ / 2³ = 64/8 = 8
أس سالب	a^-n = 1/aⁿ	2^-3 = 1/8
أس صفر	a⁰ = 1	7⁰ = 1

III. الجذور

الجذر التربيعي:

إذا كان a ≥ 0، فإن √a هو العدد الموجب x الذي يحقق x² = a.

خصائص:

√(a×b) = √a × √b (لـ a ≥ 0, b ≥ 0)
√(a/b) = √a / √b (لـ a ≥ 0, b > 0)
√a² = a (لـ a ≥ 0)
√a + √b ≠ √(a+b) ❌

الجذر النوني (لـ n ∈ ℕ*):

الجذر النوني لعدد a هو العدد x الذي يحقق xⁿ = a.

نكتب: ∛a (الجذر التكعيبي)، ∜a (الجذر الرابع)…

الأس الكسري: a^1/n = ⁿ√a و a^m/n = (ⁿ√a)^m

IV. مقارنة الأعداد الحقيقية

للمقارنة بين عددين حقيقين a و b:

a – b > 0 ⇔ a > b
a – b < 0 ⇔ a < b
a – b = 0 ⇔ a = b

مقارنة الجذور: إذا كان a > b ≥ 0 فإن √a > √b

مقارنة القوى: إذا كان a > 1 و m > n فإن a^m > aⁿ

إذا كان 0 < a < 1 و m > n فإن a^m < aⁿ

V. تمارين محلولة

التمرين 1: بسط العبارات التالية:

أ) A = 2³ × 2⁵ = 2⁸ = 256

ب) B = (x²)⁴ × x³ = x⁸ × x³ = x¹¹

ج) C = √8 × √2 = √(8×2) = √16 = 4

د) D = √12 + √75 = 2√3 + 5√3 = 7√3

التمرين 2: رتب الأعداد التالية تصاعدياً:

a = 2√3 , b = 3√2 , c = √18

الحل:

a = 2√3 = √12 ≈ 3.46

b = 3√2 = √18 ≈ 4.24

c = √18 ≈ 4.24

الترتيب: a < b = c أي 2√3 < 3√2 = √18

التمرين 3: أكتب العبارة التالية على شكل a√b حيث b أصغر ما يمكن:

A = √27 + 2√48 – 3√75

الحل:

√27 = √(9×3) = 3√3

√48 = √(16×3) = 4√3

√75 = √(25×3) = 5√3

A = 3√3 + 2(4√3) – 3(5√3) = 3√3 + 8√3 – 15√3 = -4√3

خلاصة

ℝ تشمل جميع الأعداد التي نستخدمها
قوانين القوى والجذور تساعد على التبسيط
المقارنة تكون بالفرق أو باستخدام الخواص
إتقان هذه الأساسيات ضروري لبقية دروس الرياضيات

الأعداد الحقيقية والعمليات عليها: القوى والجذور ومقارنة الأعداد — الرياضيات — الأولى ثانوي — المنهاج الجزائري