المتراجحات من الدرجة الثانية: دراسة إشارة ثلاثي الحدود وحل المتراجحات — الرياضيات — الأولى ثانوي — المنهاج الجزائري

المتراجحات من الدرجة الثانية بمجهول واحد

الأهداف التعليمية:

• التعرف على ثلاثي الحدود من الدرجة الثانية
• حساب المميز Δ ودراسة إشارة ثلاثي الحدود
• حل متراجحات من الدرجة الثانية
• تطبيق ذلك في مسائل متنوعة

I. تعريف ثلاثي الحدود من الدرجة الثانية

كل عبارة من الشكل ax² + bx + c حيث a ≠ 0 تسمى ثلاثي حدود من الدرجة الثانية.

II. دراسة إشارة ثلاثي الحدود

لدراسة إشارة ax² + bx + c نحسب المميز Δ: Δ = b² − 4ac

الحالة 1: إذا كان Δ > 0: للعبارة جذران مختلفان x₁ و x₂ (x₁ < x₂).
الإشارة: إشارة a خارج الجذرين، وإشارة −a بين الجذرين.

الحالة 2: إذا كان Δ = 0: للعبارة جذر مزدوج x₀.
الإشارة: نفس إشارة a لكل x ≠ x₀.

الحالة 3: إذا كان Δ < 0: لا جذور للعبارة.
الإشارة: نفس إشارة a لكل x ∈ ℝ.

III. حل متراجحة من الدرجة الثانية

مثال: حل المتراجحة x² − 5x + 6 > 0

Δ = (−5)² − 4(1)(6) = 25 − 24 = 1 > 0

الجذران: x₁ = (5 − 1)/2 = 2 ، x₂ = (5 + 1)/2 = 3

بما أن a = 1 > 0 فإن الإشارة موجبة خارج الجذرين.
إذن: S = ]−∞, 2[ ∪ ]3, +∞[

تمارين محلولة

التمرين 1: حل المتراجحة −2x² + 3x + 2 ≥ 0

الحل: Δ = 9 − 4(−2)(2) = 9 + 16 = 25 > 0
x₁ = (−3 − 5)/(−4) = 2 ، x₂ = (−3 + 5)/(−4) = −0.5
بما أن a = −2 < 0 فإن الإشارة موجبة بين الجذرين.
S = [−0.5, 2]

التمرين 2 (بكالوريا): لتكن f(x) = x² − 4x + 3. حدد إشارة f(x) ثم استنتج حلول المتراجحة f(x) ≤ 0.

الحل: Δ = 16 − 12 = 4 > 0، الجذران 1 و 3.
a = 1 > 0 إذن f(x) ≤ 0 عندما x ∈ [1, 3]

دروس مشابهة:

• المعادلة من الدرجة الثانية: طرق الحل بالقانون العام
• المعادلات والمتراجحات من الدرجة الأولى بمجهول واحد
• المثلثات: أنواعها وخواصها (فيثاغورس وطالس)