مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
\n
جملة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين
\n\n
الأهداف التعليمية:
\n
- \n
- حل جملة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين بطرق مختلفة
- تطبيق طريقة التعويض والجمع والمحددات
- توظيف الجمل في حل مسائل الحياة اليومية
\n
\n
\n
\n\n
1. تعريف جملة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين
\n
جملة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين x و y هي جملة تكتب على الشكل:
\n
(S): { a₁x + b₁y = c₁
{ a₂x + b₂y = c₂
\n
حيث a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂ أعداد معلومة (حقيقية) و x, y مجاهيل.
\n\n
2. طرق حل جملة معادلتين
\n\n
أ. طريقة التعويض:
\n
الخطوات:
\n
- \n
- نعزل أحد المجهولين من إحدى المعادلتين
- نعوض به في المعادلة الثانية
- نحل المعادلة الناتجة (بمجهول واحد)
- نحسب قيمة المجهول الثاني بالتعويض
\n
\n
\n
\n
\n
مثال: حل الجملة: { 2x + y = 7
{ 3x – 2y = 0
\n
من (1): y = 7 – 2x
نعوض في (2): 3x – 2(7 – 2x) = 0
3x – 14 + 4x = 0 ⇒ 7x = 14 ⇒ x = 2
y = 7 – 2(2) = 7 – 4 = 3
إذن: S = {(2, 3)}
\n\n
ب. طريقة الجمع (الحذف):
\n
الخطوات:
\n
- \n
- نضرب كل معادلة في عدد مناسب لتصبح معاملات أحد المجهولين متساوية أو متقابلة
- نجمع المعادلتين طرفاً لطرف (أو نطرحهما) لحذف ذلك المجهول
- نحل المعادلة الناتجة
- نحسب المجهول الثاني
\n
\n
\n
\n
\n
مثال: حل الجملة: { 3x + 2y = 12
{ 5x – 2y = 4
\n
نجمع المعادلتين: (3x + 2y) + (5x – 2y) = 12 + 4
8x = 16 ⇒ x = 2
نعوض في (1): 3(2) + 2y = 12 ⇒ 6 + 2y = 12 ⇒ y = 3
إذن: S = {(2, 3)}
\n\n
ج. طريقة المحددات (قاعدة كرامر):
\n
نحسب Δ = a₁b₂ – a₂b₁ (محدد النظام)
\n
إذا كان Δ ≠ 0: الحل وحيد: x = Δx/Δ, y = Δy/Δ
حيث Δx = c₁b₂ – c₂b₁, Δy = a₁c₂ – a₂c₁
\n
إذا كان Δ = 0: إما عدد لا نهائي من الحلول أو لا يوجد حل.
\n\n
3. التمرين البكالوري (نموذجي)
\n
التمرين: اشترى تلميذ 3 كراريس و 4 أقلام بمبلغ 370 ديناراً. إذا علمت أن ثمن الكراس يزيد عن ثمن القلم بـ 20 ديناراً. جد ثمن الكراس وثمن القلم.
\n
الحل: نرمز لثمن الكراس بـ x وثمن القلم بـ y.
المعادلة (1): 3x + 4y = 370
المعادلة (2): x = y + 20
نعوض: 3(y + 20) + 4y = 370 ⇒ 3y + 60 + 4y = 370 ⇒ 7y = 310 ⇒ y = 44.29
x = 44.29 + 20 = 64.29
إذن: ثمن الكراس ≈ 64.29 دج وثمن القلم ≈ 44.29 دج.
\n\n
4. تمارين تطبيقية محلولة
\n
التمرين 1: حل الجمل: { 4x – 3y = 1
{ 2x + y = 3
\n
بالتعويض: y = 3 – 2x
4x – 3(3 – 2x) = 1 ⇒ 4x – 9 + 6x = 1 ⇒ 10x = 10 ⇒ x = 1
y = 3 – 2(1) = 1. S = {(1, 1)}
\n\n
التمرين 2: { 2x + 5y = 16
{ 3x – 2y = 5
\n
بالجمع: نضرب (1) في 2 و (2) في 5: 4x + 10y = 32 و 15x – 10y = 25
نجمع: 19x = 57 ⇒ x = 3. نعوض: 2(3) + 5y = 16 ⇒ 5y = 10 ⇒ y = 2. S = {(3, 2)}
\n\n
5. مسألة بكالوريا
\n
مزرعة مستطيلة الشكل طولها يزيد عن عرضها بـ 15m. إذا كان محيطها 150m. جد بعدي المستطيل.
\n
نضع الطول L والعرض l:
L = l + 15
L + l = 75 (نصف المحيط)
(l + 15) + l = 75 ⇒ 2l = 60 ⇒ l = 30m, L = 45m
\n\n
دروس مشابهة:
- المعادلات من الدرجة الثانية: شرح شامل مع تمارين محلولة – الأولى ثانوي (رياضيات) – المنهاج الجزائري
- الدوال المرجعية: الدوال الخطية والتآلفية والتربيعية – الأولى ثانوي (رياضيات) – المنهاج الجزائري
- الأعداد الحقيقية والعمليات عليها: القوى والجذور ومقارنة الأعداد — الرياضيات — الأولى ثانوي — المنهاج الجزائري
الخلاصة: جملة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين أداة قوية لحل المسائل. اختر الطريقة المناسبة لكل حالة: التعويض إن أمكن عزل مجهول بسهولة، الجمع إن أمكن حذف مجهول بضرب بسيط، المحددات للحل السريع.
\n
