مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
بعد أن درسنا مقاييس النزعة المركزية (الموسط الحسابي والوسيط والمنوال)، نتعرف في هذا الدرس على مقاييس التشتت التي تقيس مدى انتشار أو تجمّع البيانات حول القيمة المركزية. مقاييس التشتت مهمة جداً في الإحصاء لفهم توزيع البيانات واتخاذ القرارات.
\n\n
الأهداف التعليمية
\n
- \n
- أن يتعرف التلميذ على مفهوم التشتت في البيانات الإحصائية.
- أن يحسب المدى لمجموعة بيانات.
- أن يحسب التباين والانحراف المعياري.
- أن يفسر نتائج مقاييس التشتت في تحليل البيانات.
\n
\n
\n
\n
\n\n
مفهوم التشتت
\n
مقاييس التشتت هي مقاييس إحصائية تصف درجة انتشار أو تبعثر البيانات حول المتوسط الحسابي. كلما كانت مقاييس التشتت صغيرة، كانت البيانات أكثر تجانساً وتجمّعاً حول المتوسط. وكلما كانت كبيرة، كانت البيانات أكثر تشتتاً وتباعداً.
\n\n
المدى (L’étendue)
\n
المدى هو أبسط مقاييس التشتت، ويُحسب بطرح أصغر قيمة من أكبر قيمة في مجموعة البيانات.
\n
المدى = القيمة القصوى – القيمة الدنيا
\n\n
مثال: درجات 5 تلاميذ: 12, 15, 8, 19, 10
\nالمدى = 19 – 8 = 11.
\n
تفسير: الفرق بين أعلى وأدنى درجة هو 11 درجة. هذا يعطي فكرة أولية عن انتشار الدرجات.
\n\n
التباين (La variance)
\n
التباين هو متوسط مربعات انحرافات القيم عن المتوسط الحسابي. يُحسب بالصيغة:
\n
Var = [(x₁ – x̄)² + (x₂ – x̄)² + … + (xₙ – x̄)²] / n
\n
حيث x̄ هو المتوسط الحسابي، و n هو عدد القيم.
\n\n
خطوات حساب التباين:
\n
- \n
- نحسب المتوسط الحسابي x̄.
- نحسب انحراف كل قيمة عن المتوسط: xᵢ – x̄.
- نربّع كل انحراف: (xᵢ – x̄)².
- نجمع مربعات الانحرافات.
- نقسم المجموع على عدد القيم n.
\n
\n
\n
\n
\n
\n\n
الانحراف المعياري (L’écart type)
\n
الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي للتباين، ويُرمز له بـ σ (سيغما).
\n
σ = √Var
\n
ميزة الانحراف المعياري أنه يُعبَّر عنه بنفس وحدة البيانات الأصلية، مما يسهل تفسيره.
\n\n
مثال شامل
\n
المثال: فيما يلي درجات 6 تلاميذ في اختبار الرياضيات: 14, 16, 10, 18, 12, 8. احسب المدى والتباين والانحراف المعياري.
\n
الحل:
\n
1. المدى: القيمة القصوى = 18، القيمة الدنيا = 8. المدى = 18 – 8 = 10.
\n
2. المتوسط الحسابي: x̄ = (14 + 16 + 10 + 18 + 12 + 8) / 6 = 78 / 6 = 13.
\n
3. التباين:
\n
| القيمة (xᵢ) | الانحراف (xᵢ – x̄) | مربع الانحراف (xᵢ – x̄)² |
|---|---|---|
| 14 | 1 | 1 |
| 16 | 3 | 9 |
| 10 | -3 | 9 |
| 18 | 5 | 25 |
| 12 | -1 | 1 |
| 8 | -5 | 25 |
\n
مجموع مربعات الانحرافات = 1 + 9 + 9 + 25 + 1 + 25 = 70.
\n
التباين Var = 70 / 6 ≈ 11.67.
\n
4. الانحراف المعياري: σ = √11.67 ≈ 3.42.
\n
تفسير: متوسط انحراف الدرجات عن المتوسط الحسابي (13) هو حوالي 3.42 درجة. هذا يعني أن معظم الدرجات تقع ضمن الفترة [13 – 3.42, 13 + 3.42] = [9.58, 16.42].
\n\n
تمارين تطبيقية
\n
- \n
- أعمار 5 تلاميذ: 13, 14, 12, 15, 11. احسب المدى والتباين والانحراف المعياري.
- في اختبارين، كانت نتائج الصف الأول: 15, 14, 16, 13, 12. والصف الثاني: 20, 18, 10, 8, 14. أي الصفين أكثر تجانساً في النتائج؟ (احسب الانحراف المعياري لكل صف).
- إذا كان متوسط درجات فصل هو 14 والانحراف المعياري 2، والمتوسط لفصل آخر 12 والانحراف المعياري 4، فأي الفصلين أكثر تجانساً؟
\n
\n
\n
\n\n
نشاط منزلي
\n
اجمع درجات 10 من زملائك في مادة الرياضيات، ثم احسب المدى والتباين والانحراف المعياري لهذه الدرجات. حلّل النتائج واكتب فقرة قصيرة تصف مدى تجانس درجات زملائك.
◆ دروس مشابهة
- نظرية فيثاغورس — الرياضيات للسنة الرابعة متوسط
- النشر والتحليل — المتطابقات الشهيرة والأساليب — الرياضيات —
