مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
الدوال التآلفية هي نوع مهم من الدوال في الرياضيات، وتُستخدم في وصف العديد من الظواهر الحياتية مثل العلاقة بين درجة الحرارة بالفهرنهايت والسيليسيوس، وحساب المسافة بدلالة الزمن، وغيرها. في هذا الدرس نتعرف على مفهوم الدالة التآلفية وخصائصها وطريقة تمثيلها البياني.
\n\n
الأهداف التعليمية
\n
- \n
- أن يتعرف التلميذ على مفهوم الدالة التآلفية وصيغتها العامة.
- أن يميز بين الدالة التآلفية والدالة الخطية.
- أن يمثل دالة تآلفية بيانياً في معلم متعامد.
- أن يحدد إشارة دالة تآلفية (جدول الإشارة).
- أن يحسب صور الأعداد بدالة تآلفية.
\n
\n
\n
\n
\n
\n\n
تعريف الدالة التآلفية
\n
الدالة التآلفية هي دالة تكتب على الشكل: f(x) = ax + b، حيث a و b عددان حقيقيان معلومان.
\n
- \n
- a يُسمى معامل الدالة (أو الميل)، ويمثل نسبة التغير.
- b يُسمى الحد الثابت (أو نقطة تقاطع المنحنى مع محور الصادات).
- إذا كان b = 0، تصبح الدالة خطية: f(x) = ax.
\n
\n
\n
\n\n
التمثيل البياني لدالة تآلفية
\n
التمثيل البياني لدالة تآلفية f(x) = ax + b هو خط مستقيم يقطع محور الصادات (Oy) في النقطة (0, b) ويمر بنقطة الأصل أو لا يمر بها.
\n\n
خطوات التمثيل البياني:
\n
- \n
- نحسب صورتين عددين مختلفين للدالة (مثلاً f(0) و f(1)).
- نعين النقطتين (0, f(0)) و (1, f(1)) في معلم متعامد.
- نصل بين النقطتين بخط مستقيم.
\n
\n
\n
\n\n
مثال: f(x) = 2x + 1
\nf(0) = 2×0 + 1 = 1 ← النقطة (0, 1)
\nf(1) = 2×1 + 1 = 3 ← النقطة (1, 3)
\nالتمثيل البياني هو خط مستقيم يمر بالنقطتين (0, 1) و (1, 3).
\n\n
إشارة الدالة التآلفية
\n
لدراسة إشارة الدالة التآلفية f(x) = ax + b، نحسب قيمة x التي تجعل f(x) = 0:
\n
ax + b = 0 → x = -b/a (تُسمى قيمة الحد الجذري).
\n\n
إذا كان a > 0:
\n
- \n
- f(x) < 0 عندما x < -b/a
- f(x) = 0 عندما x = -b/a
- f(x) > 0 عندما x > -b/a
\n
\n
\n
\n\n
إذا كان a < 0:
\n
- \n
- f(x) > 0 عندما x < -b/a
- f(x) = 0 عندما x = -b/a
- f(x) < 0 عندما x > -b/a
\n
\n
\n
\n\n
جدول الإشارة
\n
| x | -∞ | -b/a | +∞ |
|---|---|---|---|
| إشارة f(x) (a > 0) | – | 0 | + |
| إشارة f(x) (a < 0) | + | 0 | – |
\n\n
أمثلة محلولة
\n
المثال 1: لتكن f دالة تآلفية بحيث f(x) = 3x – 6.
\n
1. احسب f(0)، f(2)، f(-1):
\nf(0) = 3×0 – 6 = -6
\nf(2) = 3×2 – 6 = 0
\nf(-1) = 3×(-1) – 6 = -9
\n
2. مثلها بيانياً:
\nنحسب نقطتين: (0, -6) و (2, 0). نرسم الخط المستقيم المار بهاتين النقطتين.
\n
3. ادرس إشارتها:
\n3x – 6 = 0 → x = 2. بما أن a = 3 > 0، فإن:
\nf(x) < 0 إذا كان x < 2
\nf(x) = 0 إذا كان x = 2
\nf(x) > 0 إذا كان x > 2
\n\n
المثال 2: دالة تآلفية g تحقق g(1) = 5 و g(3) = -1. أوجد عبارتها.
\n
الحل:
\ng(x) = ax + b
\ng(1) = a + b = 5
\ng(3) = 3a + b = -1
\nبالطرح: 2a = -6 → a = -3
\nبالتعويض: -3 + b = 5 → b = 8
\nإذن: g(x) = -3x + 8.
\n\n
تمارين تطبيقية
\n
- \n
- لتكن f(x) = 2x + 4. احسب f(0)، f(-2)، f(3). ثم ادرس إشارتها.
- مثل بيانياً الدالة g(x) = -x + 3.
- أوجد الدالة التآلفية h التي تحقق h(0) = 2 و h(2) = 6.
- دالة تآلفية معاملها a = -2 وقيمتها عند x = 1 تساوي 5. أوجد عبارتها.
\n
\n
\n
\n
\n\n
نشاط منزلي
\n
فكر في علاقة حياتية يمكن تمثيلها بدالة تآلفية. مثلاً: أجرة سيارة أجرة تبدأ بـ 200 دينار و 50 دينار لكل كيلومتر إضافي. اكتب الدالة التي تمثل التكلفة بدلالة المسافة، واحسب تكلفة رحلة طولها 10 km، ومثلها بيانياً.
◆ دروس مشابهة
- القاسم المشترك الأكبر PGCD والمضاعف المشترك الأصغر PPCM — ال
- الإحصاء — جمع البيانات وتمثيلها بالرسوم البيانية — الرياضيات
