مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
يُعد درس القاسم المشترك الأكبر (PGCD) والمضاعف المشترك الأصغر (PPCM) من الدروس المحورية في مادة الرياضيات للسنة الثالثة متوسط في المنهاج الجزائري. هذا الدرس يفتح الباب أمام فهم أعمق للأعداد الطبيعية وعلاقاتها ببعضها البعض، وله تطبيقات واسعة في مسائل الحياة اليومية والحساب العملي.
الأهداف التعليمية
- أن يتعرف التلميذ على مفهوم القاسم المشترك الأكبر (PGCD) لمجموعة من الأعداد.
- أن يتقن التلميذ طرق حساب PGCD: طريقة القواسم، طريقة التحليل إلى عوامل أولية، وخوارزمية إقليدس.
- أن يفهم التلميذ مفهوم المضاعف المشترك الأصغر (PPCM) لأعداد طبيعية.
- أن يتمكن التلميذ من توظيف PGCD و PPCM في حل مسائل عملية.
- أن يستنتج التلميذ العلاقة بين PGCD و PPCM.
أولاً: القاسم المشترك الأكبر (PGCD — Plus Grand Commun Diviseur)
تعريف: القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين a و b (غير معدومين) هو أكبر عدد طبيعي يقسم كلاً من a و b في آن واحد. نرمز له بـ PGCD(a ; b).
1. طريقة إيجاد PGCD بواسطة قواسم كل عدد
أسهل طريقة لفهم المفهوم هي كتابة جميع قواسم كل عدد، ثم تحديد أكبر قاسم مشترك بينهما.
مثال: أحسب PGCD(24 ; 36)
- قواسم العدد 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
- قواسم العدد 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
- القواسم المشتركة: 1, 2, 3, 4, 6, 12
- أكبر قاسم مشترك هو: 12
إذن: PGCD(24 ; 36) = 12
ملاحظة: هذه الطريقة مناسبة للأعداد الصغيرة. للأعداد الكبيرة، نستخدم الطرق التالية.
2. طريقة إيجاد PGCD بالتحليل إلى عوامل أولية
نُحلّل كل عدد إلى جداء عوامل أولية، ثم نأخذ العوامل المشتركة بأصغر أس.
مثال: أحسب PGCD(60 ; 84)
نحلل كل عدد إلى عوامل أولية:
- 60 = 2² × 3 × 5
- 84 = 2² × 3 × 7
العوامل الأولية المشتركة: 2² (لأن 2² أصغر من 2² ← متساوية) و 3
إذن: PGCD(60 ; 84) = 2² × 3 = 4 × 3 = 12
3. خوارزمية إقليدس (طريقة القسمة المتكررة)
هذه هي أسرع طريقة لحساب PGCD، وتصلح للأعداد الكبيرة جداً.
القاعدة: PGCD(a ; b) = PGCD(b ; باقي قسمة a على b) ونكرر العملية حتى يصبح الباقي صفراً، ويكون PGCD هو آخر قاسم غير معدوم.
مثال: أحسب PGCD(252 ; 180)
- 252 ÷ 180 = 1 والباقي 72 → PGCD(252 ; 180) = PGCD(180 ; 72)
- 180 ÷ 72 = 2 والباقي 36 → PGCD(180 ; 72) = PGCD(72 ; 36)
- 72 ÷ 36 = 2 والباقي 0 → توقف
إذن: PGCD(252 ; 180) = 36
ثانياً: المضاعف المشترك الأصغر (PPCM — Plus Petit Commun Multiple)
تعريف: المضاعف المشترك الأصغر لعددين طبيعيين a و b هو أصغر عدد طبيعي غير معدوم يكون مضاعفاً لكلا العددين a و b. نرمز له بـ PPCM(a ; b).
1. طريقة إيجاد PPCM بواسطة المضاعفات
مثال: أحسب PPCM(6 ; 8)
- مضاعفات العدد 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, …
- مضاعفات العدد 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, …
- المضاعفات المشتركة: 24, 48, …
- أصغر مضاعف مشترك هو: 24
إذن: PPCM(6 ; 8) = 24
2. طريقة إيجاد PPCM بالتحليل إلى عوامل أولية
نحلل كل عدد إلى عوامل أولية، ثم نأخذ كل عامل أولي بأكبر أس موجود.
مثال: أحسب PPCM(12 ; 18)
- 12 = 2² × 3
- 18 = 2 × 3²
- نأخذ: 2² (أكبر أس للعدد 2) و 3² (أكبر أس للعدد 3)
- PPCM(12 ; 18) = 2² × 3² = 4 × 9 = 36
ثالثاً: العلاقة بين PGCD و PPCM
توجد علاقة مهمة جداً بين PGCD و PPCM لعددين طبيعيين a و b:
PGCD(a ; b) × PPCM(a ; b) = a × b
مثال تطبيقي: إذا كان a = 24 و b = 36
- PGCD(24 ; 36) = 12
- a × b = 24 × 36 = 864
- إذن: PPCM(24 ; 36) = 864 ÷ 12 = 72
🧠 ملخص الدرس
- PGCD هو أكبر عدد يقسم عددين معاً — نستخدمه لتبسيط الكسور وحل مسائل التقسيم.
- PPCM هو أصغر عدد يقبل القسمة على عددين معاً — نستخدمه في مسائل التواقت والمواعيد.
- لحساب PGCD: خوارزمية إقليدس هي الأسرع (قسمة متكررة حتى باقي صفر).
- لحساب PPCM: التحليل إلى عوامل أولية بأكبر أس هو الأسهل.
- العلاقة الذهبية: PGCD × PPCM = a × b
- العددان يكونان أوليين فيما بينهما إذا كان PGCD(a ; b) = 1.
تمارين تطبيقية
- التمرين 1: أحسب PGCD(48 ; 72) باستخدام طريقة القواسم، ثم تحقق بخوارزمية إقليدس.
- التمرين 2: أحسب PPCM(15 ; 20) باستخدام طريقة المضاعفات، ثم تحقق بالتحليل إلى عوامل أولية.
- التمرين 3: إذا كان PGCD(45 ; 75) = 15، فما هو PPCM(45 ; 75)؟ استخدم العلاقة بين PGCD و PPCM.
- التمرين 4: يريد فلاح تقسيم أرض مستطيلة طولها 36m وعرضها 24m إلى مربعات متساوية بأكبر مساحة ممكنة. ما هو طول ضلع كل مربع؟ ما عدد المربعات؟
📝 حلول التمارين
حل التمرين 1: PGCD(48 ; 72)
- قواسم 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
- قواسم 72: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
- القواسم المشتركة: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 → PGCD = 24
- بالتحقق بخوارزمية إقليدس: 72 ÷ 48 = 1 والباقي 24 ← 48 ÷ 24 = 2 والباقي 0 → PGCD = 24 ✅
حل التمرين 2: PPCM(15 ; 20) = 60
- 15 = 3 × 5 و 20 = 2² × 5 → PPCM = 2² × 3 × 5 = 60
حل التمرين 3: PPCM(45 ; 75) = (45 × 75) ÷ 15 = 3375 ÷ 15 = 225
حل التمرين 4: طول ضلع المربع الأكبر = PGCD(36 ; 24) = 12m. عدد المربعات = (36 × 24) ÷ (12 × 12) = 864 ÷ 144 = 6 مربعات.
⚠️ تنبيه للأخطاء الشائعة
- الخلط بين PGCD و PPCM: تذكر: PGCD = أكبر قاسم (نقسم الأعداد عليه)، PPCM = أصغر مضاعف (الأعداد تقسمه).
- خطأ في خوارزمية إقليدس: تأكد من أن الباقي دائماً أصغر من القاسم. إذا كان a أصغر من b، ابدأ بـ PGCD(b ; a).
- نسيان العوامل الأولية المتكررة: في التحليل إلى عوامل أولية لـ PGCD، نأخذ أصغر أس. لـ PPCM، نأخذ أكبر أس.
- الاعتماد على العلاقة فقط: العلاقة PGCD × PPCM = a × b تصح لعددين فقط وليس لثلاثة أعداد.
📍 دروس مشابهة
- المعادلات من الدرجة الأولى بمجهول واحد — الرياضيات — السنة الثالثة متوسط
- المتراجحات من الدرجة الأولى بمجهول واحد — الرياضيات — السنة الثالثة متوسط
- المثلثات ونظرية طاليس — الرياضيات — السنة الثالثة متوسط