مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
الأعداد النسبية هي مجموعة الأعداد التي يمكن كتابتها على شكل كسر (a/b) حيث a و b عددان صحيحان و b ≠ 0. بعد أن تعلمنا مقارنة وجمع وطرح الأعداد النسبية، سنتعلم الآن كيفية ضربها وقسمتها، وهما عمليتان أساسيتان في حل المعادلات والمسائل الرياضية.
\n\n
◆ الأهداف التعليمية
\n
- \n
- حساب جداء عددين نسبيين (ضربهما)
- حساب خارج عددين نسبيين (قسمتهما)
- التعرف على قاعدة إشارات الضرب والقسمة في الأعداد النسبية
- تبسيط الكسور النسبية واختصارها
- تطبيق العمليات في مسائل حياتية متنوعة
\n
\n
\n
\n
\n
\n\n
◆ تذكير: الأعداد النسبية
\n\n
◆ تعريف: العدد النسبي هو عدد يمكن كتابته على شكل كسر a/b حيث a و b عددان صحيحان و b ≠ 0. يسمى a البسط و b المقام.
\n
\n\n
الأعداد النسبية تشمل: الأعداد الطبيعية (1, 2, 3, …)، الأعداد الصحيحة النسبية (… ,3- ,2- ,1- ,0 ,1 ,2 ,3)، والكسور والأعداد العشرية (0.5، 1.25، …).
\n\n
◆ ضرب عددين نسبيين
\n\n
◆ قاعدة ضرب الأعداد النسبية:
\n
لضرب عددين نسبيين a/b × c/d، نضرب البسط في البسط والمقام في المقام:
\n
(a/b) × (c/d) = (a × c) / (b × d)
\n
\n\n
◆ قاعدة الإشارات في الضرب
\n
| الإشارة الأولى | الإشارة الثانية | إشارة الناتج |
|---|---|---|
| + | + | + |
| – | – | + |
| + | – | – |
| – | + | – |
\n
ملخص قاعدة الإشارات: (+) × (+) = (+) ، (-) × (-) = (+) ، (+) × (-) = (-) ، (-) × (+) = (-)
أي: الضرب في إشارتين متشابهتين يعطي إشارة موجبة، والضرب في إشارتين مختلفتين يعطي إشارة سالبة.
\n\n
◆ أمثلة محلولة على الضرب
\n\n
◆ المثال 1: أحسب (2/3) × (4/5)
\n
الحل: (2/3) × (4/5) = (2×4) / (3×5) = 8/15
\n\n
◆ المثال 2: أحسب (-3/4) × (2/5)
\n
الحل: (-3/4) × (2/5) = [(-3)×2] / (4×5) = -6/20 = -3/10 (بعد الاختصار على 2)
\n\n
◆ المثال 3: أحسب (-2/7) × (-3/5)
\n
الحل: (-2/7) × (-3/5) = [(-2)×(-3)] / (7×5) = 6/35
\n\n
◆ ملاحظة مهمة: عند ضرب عددين نسبيين سالبين، تكون النتيجة موجبة. تذكر: سالب × سالب = موجب.
\n
\n\n
◆ قسمة عددين نسبيين
\n\n
◆ قاعدة قسمة الأعداد النسبية:
\n
لقسمة عدد نسبي على آخر، نضرب المقسوم في مقلوب المقسوم عليه:
\n
(a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c) = (a × d) / (b × c)
\n
شرط: c ≠ 0 لأنه لا يمكن القسمة على صفر.
\n
\n\n
◆ مقلوب عدد نسبي: مقلوب الكسر a/b هو b/c (نقلب الكسر). مثلاً: مقلوب 2/3 هو 3/2، ومقلوب -4/5 هو -5/4.
\n\n
◆ أمثلة محلولة على القسمة
\n\n
◆ المثال 4: أحسب (3/4) ÷ (2/5)
\n
الحل: (3/4) ÷ (2/5) = (3/4) × (5/2) = (3×5) / (4×2) = 15/8
\n\n
◆ المثال 5: أحسب (-5/6) ÷ (3/4)
\n
الحل: (-5/6) ÷ (3/4) = (-5/6) × (4/3) = [(-5)×4] / (6×3) = -20/18 = -10/9 (بعد الاختصار على 2)
\n\n
◆ المثال 6: أحسب (-2/3) ÷ (-4/9)
\n
الحل: (-2/3) ÷ (-4/9) = (-2/3) × (9/-4) = [(-2)×9] / [3×(-4)] = -18/-12 = 18/12 = 3/2 (بعد الاختصار على 6)
\n\n
◆ تنبيه مهم: نفس قاعدة الإشارات تنطبق على القسمة كما تنطبق على الضرب. (+)/(-) = (-)، (-)/(-) = (+)، (+)/(+) = (+)، (-)/(+) = (-).
\n
\n\n
◆ اختصار الكسور النسبية
\n
بعد ضرب أو قسمة الأعداد النسبية، يجب تبسيط الناتج إلى أبسط صورة ممكنة. لاختصار كسر، نبحث عن القاسم المشترك الأكبر (PGCD) بين البسط والمقام ونقسم كليهما عليه.
\n\n
◆ مثال: اختصر الكسر 24/36.
\n
PGCD(24, 36) = 12
\n
24/36 = (24÷12)/(36÷12) = 2/3
\n\n
◆ تمارين تطبيقية
\n
- \n
- أحسب ما يلي: (3/5) × (7/2)
- أحسب: (-4/3) × (9/8)
- أحسب: (-5/7) × (-14/15)
- أحسب: (3/4) ÷ (5/6)
- أحسب: (-2/5) ÷ (3/7)
- أحسب: (-8/9) ÷ (-4/3)
- بسّط الجداء: (15/24) × (16/25)
- في مخبز، يستخدم 3/4 كيلوغرام من الدقيق لصنع رغيف واحد. كم كيلوغراماً من الدقيق يحتاج لصنع 8 أرغفة؟
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n\n
◆ حلول التمارين
\n
- \n
- (3/5) × (7/2) = 21/10
- (-4/3) × (9/8) = -36/24 = -3/2
- (-5/7) × (-14/15) = 70/105 = 2/3
- (3/4) ÷ (5/6) = (3/4) × (6/5) = 18/20 = 9/10
- (-2/5) ÷ (3/7) = (-2/5) × (7/3) = -14/15
- (-8/9) ÷ (-4/3) = (-8/9) × (3/-4) = -24/-36 = 2/3
- (15/24) × (16/25) = 240/600 = 2/5
- (3/4) × 8 = 24/4 = 6 كيلوغرامات
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n\n
◆ نشاط منزلي
\n
ابحث في العبوات المنزلية عن 5 منتجات تعرض كسوراً (مثل 1/2 لتر حليب، 3/4 كغم سكر، …). اكتبها ثم احسب باستخدام الضرب أو القسمة كمية المادة الموجودة إذا اشتريت 3 عبوات أو إذا أردت تقسيم الكمية على 4 أشخاص.
◆ دروس مشابهة
- الأعداد النسبية — مقارنتها وجمعها وطرحها — الثانية متوسط
- المعادلات من الدرجة الأولى بمجهول واحد — الثانية متوسط
- النسبة المئوية والتناسبية — الثانية متوسط
