مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
تعتبر نظرية طاليس من أهم النظريات في الهندسة، وتستخدم في العديد من التطبيقات مثل حساب الأطوال في المثلثات المتشابهة، وتقسيم القطع المستقيمة بنسب معينة. وهي من المواضيع الأساسية التي ترد في امتحان شهادة التعليم المتوسط (BEM).
\n\n
◆ الأهداف التعليمية
\n
- \n
- فهم مفهوم نظرية طاليس في المثلث
- تطبيق النظرية لحساب الأطوال المجهولة
- التعرف على حالات تطبيق النظرية والعكسية
- حل مسائل متنوعة باستخدام نظرية طاليس
- التحضير لأسئلة امتحان BEM في الهندسة
\n
\n
\n
\n
\n
\n\n
◆ نص نظرية طاليس
\n\n
◆ نظرية طاليس: إذا كان لدينا مثلث ABC، ورسمنا مستقيماً موازياً لضلع من أضلاعه يقطع الضلعين الآخرين في نقطتين، فإن هذا المستقيم يقسم هذين الضلعين إلى أجزاء متناسبة.
\n
\n\n
◆ الحالة الأساسية للنظرية
\n
في المثلث ABC، إذا كان (MN) || (BC) حيث M ∈ [AB] و N ∈ [AC]، فإن:
\n
AM / AB = AN / AC = MN / BC
\n
أي أن النسب بين أطوال القطع المقابلة متساوية.
\n\n
◆ حالات تطبيق النظرية
\n\n
الحالة 1: مستقيم يقطع ضلعين في مثلث
\n
إذا كان في المثلث ABC: M نقطة من (AB)، N نقطة من (AC)، و (MN) || (BC)
\n
فإن: AM/AB = AN/AC = MN/BC
\n\n
الحالة 2: المستقيمات المتوازية تقاطع قاطعان
\n
إذا قطع مستقيمان متوازيان (أو أكثر) قاطعين، فإن النسب بين أطوال القطع المحصورة بينهما متساوية.
\n\n
◆ عكس نظرية طاليس
\n\n
◆ عكس نظرية طاليس: إذا كانت النسبة AM/AB = AN/AC في المثلث ABC، وكانت النقاط M و N من (AB) و (AC) بالترتيب نفسه، فإن (MN) || (BC).
\n
\n\n
◆ ملاحظة مهمة: يجب الانتباه إلى أن النقاط M و N تقع على الضلعين بالترتيب نفسه (أي M على AB و N على AC)، وإلا فإن عكس النظرية قد لا ينطبق.
\n\n
◆ أمثلة محلولة
\n\n
◆ المثال 1: في المثلث ABC، AB = 15 سم، AC = 12 سم. نقطة M تقع على (AB) حيث AM = 6 سم. المستقيم المار بـ M والموازي لـ (BC) يقطع (AC) في N. أحسب AN.
\n
الحل:
\n
بما أن (MN) || (BC) في المثلث ABC، فإن حسب نظرية طاليس:
\n
AM/AB = AN/AC
\n
6/15 = AN/12
\n
AN = (6 × 12) ÷ 15 = 72 ÷ 15 = 4.8 سم
\n\n
◆ المثال 2: في المثلث ABC، AB = 20 سم، AC = 16 سم، BC = 24 سم. مستقيم يوازي (BC) ويقطع (AB) في M و (AC) في N حيث AM = 8 سم. أحسب AN و MN.
\n
الحل:
\n
نطبق نظرية طاليس: AM/AB = AN/AC = MN/BC
\n
8/20 = AN/16 ← AN = (8 × 16) ÷ 20 = 128 ÷ 20 = 6.4 سم
\n
8/20 = MN/24 ← MN = (8 × 24) ÷ 20 = 192 ÷ 20 = 9.6 سم
\n\n
◆ المثال 3: في المثلث ABC، AB = 9 سم، AC = 6 سم. M ∈ [AB] حيث AM = 3 سم، N ∈ [AC] حيث AN = 2 سم. هل (MN) // (BC)؟
\n
الحل:
\n
نتحقق من عكس نظرية طاليس:
\n
AM/AB = 3/9 = 1/3
\n
AN/AC = 2/6 = 1/3
\n
بما أن AM/AB = AN/AC والنقاط M و N مرتبة على الضلعين بالترتيب نفسه، فإن (MN) || (BC).
\n\n
◆ المثال 4: في الشكل المقابل، ABC مثلث قائم في A. AB = 8 سم، AC = 6 سم، BC = 10 سم. M نقطة من (AB) حيث AM = 4 سم. المستقيم المار بـ M والموازي لـ (BC) يقطع (AC) في N. أحسب AN و MN.
\n
الحل:
\n
باستخدام نظرية طاليس:
\n
AM/AB = AN/AC = MN/BC
\n
4/8 = AN/6 ← AN = (4 × 6) ÷ 8 = 24 ÷ 8 = 3 سم
\n
4/8 = MN/10 ← MN = (4 × 10) ÷ 8 = 40 ÷ 8 = 5 سم
\n\n
◆ تطبيقات عملية لنظرية طاليس في الحياة اليومية
\n
- \n
- قياس الارتفاعات: يمكن استخدام ظل جسم ونظرية طاليس لحساب ارتفاع المباني والأشجار
- الخرائط والمخططات: حساب المسافات الحقيقية باستخدام مقياس الرسم
- تقسيم الأراضي: تقسيم قطعة أرض بنسب محددة باستخدام التوازي
- الهندسة المعمارية: تصميم السلالم والأسطح المائلة باستخدام النسب الثابتة
\n
\n
\n
\n
\n\n
◆ تمارين تطبيقية
\n
- \n
- في المثلث ABC، AB = 18 سم، AC = 15 سم. نقطة M من (AB) حيث AM = 6 سم. المستقيم المار بـ M والموازي لـ (BC) يقطع (AC) في N. أحسب AN.
- في المثلث ABC، AB = 24 سم، BC = 30 سم، AC = 18 سم. (MN) || (BC)، M ∈ (AB) حيث AM = 8 سم. أحسب AN و MN.
- مثلث ABC فيه AB = 10 سم، AC = 8 سم. M ∈ (AB) حيث AM = 4 سم، N ∈ (AC) حيث AN = 3.2 سم. بين أن (MN) || (BC).
- ABC مثلث، M ∈ (AB)، N ∈ (AC). إذا كان AM = 3 سم، MB = 6 سم، AN = 4 سم، NC = 8 سم، فهل (MN) || (BC)؟
- شجرة ارتفاعها h تُلقي ظلاً طوله 12 متراً. في الوقت نفسه، ظل عصا طولها 1.5 متر يساوي 2 متر. أحسب ارتفاع الشجرة باستخدام نظرية طاليس.
\n
\n
\n
\n
\n
\n\n
◆ مسائل BEM (شهادة التعليم المتوسط)
\n\n
◆ مسألة BEM: ABC مثلث قائم في A حيث AB = 9 سم و AC = 12 سم.
\n
1. أحسب BC.
\n
2. M نقطة من (AB) حيث AM = 6 سم. المستقيم المار بـ M والموازي لـ (BC) يقطع (AC) في N. أحسب AN و MN.
\n
3. أحسب محيط المثلث AMN.
\n
الحل:
\n
1. حسب نظرية فيثاغورس: BC² = AB² + AC² = 81 + 144 = 225 ← BC = 15 سم
\n
2. حسب نظرية طاليس: AM/AB = AN/AC = MN/BC
\n
6/9 = AN/12 ← AN = (6 × 12) ÷ 9 = 72 ÷ 9 = 8 سم
\n
6/9 = MN/15 ← MN = (6 × 15) ÷ 9 = 90 ÷ 9 = 10 سم
\n
3. محيط AMN = AM + AN + MN = 6 + 8 + 10 = 24 سم
\n\n
◆ نشاط منزلي
\n
اختر شيئاً طويلاً في محيطك (عمود إنارة، شجرة، مبنى) واستخدم ظله مع ظل عصا معلومة الطول لحساب ارتفاعه باستخدام نظرية طاليس. سجل القياسات التي أخذتها والحسابات التي أجريتها.
◆ دروس مشابهة
- نظرية فيثاغورس — الرابعة متوسط
- النسب المثلثية: الجيب وجيب التمام والظل — الرابعة متوسط
- الحساب على الجذور التربيعية — الرابعة متوسط
