مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
المثلثات ونظرية طاليس — الرياضيات — السنة الثالثة متوسط
المادة: الرياضيات
المستوى: السنة الثالثة متوسط
الوحدة: الهندسة — نظرية طاليس
المدة: ساعة واحدة
أهداف التعلم:
- أن يتعرف المتعلم على نظرية طاليس.
- أن يطبق نظرية طاليس في حساب الأطوال المجهولة.
- أن يميز بين الحالات المباشرة والعكسية للنظرية.
- أن يحل مسائل هندسية باستخدام النظرية.
تمهيد:
طاليس هو عالم رياضيات يوناني قديم عاش في القرن السادس قبل الميلاد. استطاع قياس ارتفاع الأهرامات باستخدام ظلها وظل عصا عمودية. كيف فعل ذلك؟ باستخدام النسب والتناسب في المثلثات.
أولاً: نظرية طاليس المباشرة:
إذا كان مستقيمان متقاطعان في نقطة A، وقطعا بمستقيمين متوازيين (d₁) و(d₂) في النقط B، C على الأول و B’، C’ على الثاني (بشرط BB’ ∥ CC’)، فإن:
\[ \frac{AB}{AC} = \frac{AB’}{AC’} = \frac{BB’}{CC’} \]
بصيغة أخرى: إذا كان لدينا مثلث ABC، ورسمنا مستقيماً موازياً لأحد أضلاعه (ليكن BC) يقطع الضلعين الآخرين في نقطتين (M على AB، N على AC)، فإن:
\[ \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC} \]
ثانياً: عكس نظرية طاليس:
إذا كانت النقاط A، B، C على استقامة واحدة، والنقاط A، B’، C’ على استقامة واحدة أخرى، وكان:
\[ \frac{AB}{AC} = \frac{AB’}{AC’} \]
فإن المستقيمين (BB’) و (CC’) متوازيان.
ثالثاً: تطبيقات نظرية طاليس:
- حساب أطوال مجهولة في أشكال هندسية فيها تواز.
- إثبات التوازي بين مستقيمين باستخدام النسب.
- تقسيم قطعة مستقيمة بنسبة معينة.
- قياس ارتفاعات الأجسام التي يصعب الوصول إليها (الأشجار، المباني).
في المثلث ABC، لدينا MN ∥ BC، حيث M ∈ [AB]، N ∈ [AC].
إذا كان AM = 4cm، AB = 10cm، AN = 3cm، AC = ?
الحل: بتطبيق نظرية طاليس:
\[ \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \]
\[ \frac{4}{10} = \frac{3}{AC} \]
\[ AC = \frac{3 \times 10}{4} = \frac{30}{4} = 7.5cm \]
ABC مثلث فيه AB = 12cm، AC = 18cm. النقطة M تنتمي إلى [AB] حيث AM = 4cm، والنقطة N تنتمي إلى [AC] حيث AN = 6cm. هل (MN) ∥ (BC)؟
الحل:
\[ \frac{AM}{AB} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \]
\[ \frac{AN}{AC} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3} \]
بما أن \[ \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \]، والنقاط A، M، B على استقامة والنقاط A، N، C على استقامة، فإن MN ∥ BC (حسب عكس نظرية طاليس).
تمارين إضافية:
تمرين 1: في مثلث ABC، M ∈ [AB]، N ∈ [AC]، MN ∥ BC. إذا كان AM = 6cm، AB = 15cm، BC = 10cm. احسب MN.
تمرين 2: في مثلث EFG، H ∈ [EF]، I ∈ [EG]. إذا كان EH = 3cm، EF = 9cm، EI = 5cm، EG = 15cm. هل HI ∥ FG؟
نظرية طاليس أداة قوية في الهندسة تسمح بحساب الأطوال المجهولة في المثلثات باستخدام النسب بين الأضلاع عندما يكون مستقيم موازياً لأحد الأضلاع. عكس النظرية يستخدم لإثبات التوازي بين مستقيمين. هذه النظرية من التطبيقات الأساسية في الهندسة والقياسات العملية.
📍 دروس مشابهة:
- المعادلات من الدرجة الأولى بمجهول واحد — الرياضيات للسنة الثالثة متوسط
- نظرية فيثاغورس — الرياضيات للسنة الرابعة متوسط
