مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
📘 بطاقة الدرس
- المادة: الرياضيات
- المستوى: السنة الثانية ثانوي – الشعب العلمية
- الوحدة: الهندسة – المرجح في المستوى (Barycentre)
- المدة: حصتان (ساعتان)
🎯 أهداف التعلم
- أن يتعرف على مفهوم المرجح في المستوى وطريقة إنشائه.
- أن يستخدم خصائص المرجح في حل المسائل الهندسية.
- أن يحسب إحداثيات المرجح في معلم متعامد.
- أن يطبق المرجح في إثبات الاستقامية والتقاطع.
📝 تمهيد
في حياتنا اليومية، نستخدم مفهوم المرجح (Barycentre) دون أن ندري: عندما نحاول موازنة مسطرة على قلم رصاص، نبحث عن نقطة توازنها التي نسميها مركز الثقل. في الرياضيات، يعمم مفهوم المرجح هذه الفكرة: إنها نقطة يمكنها موازنة عدة نقاط بأوزان (كتل) مختلفة. المرجح أداة قوية في الهندسة تسمح بحل مسائل عديدة بطرق بسيطة وأنيقة.
📍 1. تعريف المرجح
ليكن لدينا نقطتان A و B في المستوى وعددان حقيقيان α و β حيث α + β ≠ 0.
مرجح (Barycentre) النقطتين A و B المرفقتين بالمعاملين α و β هي النقطة G المعرفة بالعلاقة:
α GA + β GB = 0 (أي: α·GA + β·GB = صفر متجه)
ونكتب: G = Bar{(A, α), (B, β)}
نظرية: النقطة G موجودة وفريدة إذا كان α + β ≠ 0.
في حالة α = β = 1، فإن G هي منتصف القطعة [AB].
🔧 2. كيفية إنشاء المرجح
انطلاقاً من العلاقة α GA + β GB = 0، نكتب:
AG = (β / (α+β)) × AB (حسب A)
أو BG = (α / (α+β)) × BA (حسب B)
مثال: G = Bar{(A, 2), (B, 3)}
AG = (3/5) AB → ننشئ النقطة G على المستقيم (AB) بحيث AG = (3/5) AB
📐 3. خصائص المرجح
- التجميع (Associativité): يمكن تجميع نقطتين داخل المرجح: Bar{(A, a), (B, b), (C, c)} = Bar{(G₁, a+b), (C, c)} حيث G₁ = Bar{(A, a), (B, b)}.
- الموضع: إذا كانت جميع المعاملات موجبة، فإن G تقع داخل المثلث (أو على القطعة).
- التناسب: ضرب جميع المعاملات في نفس العدد غير المعدوم لا يغير المرجح: Bar{(A, a), (B, b)} = Bar{(A, ka), (B, kb)}.
📊 4. إحداثيات المرجح في معلم
في معلم (O, i, j)، إذا كانت A(xA, yA) و B(xB, yB)، فإن إحداثيات G = Bar{(A, α), (B, β)} هي:
xG = (α·xA + β·xB) / (α + β)
yG = (α·yA + β·yB) / (α + β)
📌 مثال تطبيقي
لتكن A(1, 2) و B(5, 6). أحسب إحداثيات G مرجح (A, 3) و (B, 1).
الحل:
xG = (3×1 + 1×5) / (3+1) = (3+5)/4 = 8/4 = 2
yG = (3×2 + 1×6) / (3+1) = (6+6)/4 = 12/4 = 3
إذن G(2, 3).
✏️ تمارين محلولة
التمرين 1: ABC مثلث. أنشئ النقطة G مرجح (A, 2) و (B, -1) و (C, 3).
الحل: بما أن 2 + (-1) + 3 = 4 ≠ 0، فالمرجح موجود. نستعمل التجميع: G₁ = Bar{(A, 2), (B, -1)}. 2 + (-1) = 1 ≠ 0. AG₁ = (-1/1) AB = -AB أي G₁ = B… ثم G = Bar{(G₁, 1), (C, 3)}.
التمرين 2: ABC مثلث، G مرجح (A, 2) و (B, 3) و (C, 5). بين أن G, B و C ليست على استقامة واحدة.
(ملاحظة: لأن جميع المعاملات موجبة، G داخل المثلث ولا يمكن أن تكون على BC).
📌 خلاصة
- المرجح G لـ (A, α) و (B, β) يحقق α GA + β GB = 0، ويوجد إذا α + β ≠ 0.
- خاصية التجميع تسمح بحساب مرجح عدة نقاط تدريجياً.
- إحداثيات المرجح هي المتوسط الموزون لإحداثيات النقاط.
- المرجح أداة قوية لحل مسائل الاستقامية والتقاطع في الهندسة.