المرجح في المستوى: تعريف، خصائص وتمارين محلولة – الثانية ثانوي (رياضيات) – المنهاج الجزائري

🎯 أهداف التعلم

• أن يتعرف على مفهوم المرجح في المستوى وطريقة إنشائه.
• أن يستخدم خصائص المرجح في حل المسائل الهندسية.
• أن يحسب إحداثيات المرجح في معلم متعامد.
• أن يطبق المرجح في إثبات الاستقامية والتقاطع.

📝 تمهيد

في حياتنا اليومية، نستخدم مفهوم المرجح (Barycentre) دون أن ندري: عندما نحاول موازنة مسطرة على قلم رصاص، نبحث عن نقطة توازنها التي نسميها مركز الثقل. في الرياضيات، يعمم مفهوم المرجح هذه الفكرة: إنها نقطة يمكنها موازنة عدة نقاط بأوزان (كتل) مختلفة. المرجح أداة قوية في الهندسة تسمح بحل مسائل عديدة بطرق بسيطة وأنيقة.

📍 1. تعريف المرجح

ليكن لدينا نقطتان A و B في المستوى وعددان حقيقيان α و β حيث α + β ≠ 0.

مرجح (Barycentre) النقطتين A و B المرفقتين بالمعاملين α و β هي النقطة G المعرفة بالعلاقة:

α GA + β GB = 0 (أي: α·GA + β·GB = صفر متجه)

ونكتب: G = Bar{(A, α), (B, β)}

نظرية: النقطة G موجودة وفريدة إذا كان α + β ≠ 0.

في حالة α = β = 1، فإن G هي منتصف القطعة [AB].

🔧 2. كيفية إنشاء المرجح

انطلاقاً من العلاقة α GA + β GB = 0، نكتب:

AG = (β / (α+β)) × AB (حسب A)

أو BG = (α / (α+β)) × BA (حسب B)

مثال: G = Bar{(A, 2), (B, 3)}

AG = (3/5) AB → ننشئ النقطة G على المستقيم (AB) بحيث AG = (3/5) AB

📐 3. خصائص المرجح

• التجميع (Associativité): يمكن تجميع نقطتين داخل المرجح: Bar{(A, a), (B, b), (C, c)} = Bar{(G₁, a+b), (C, c)} حيث G₁ = Bar{(A, a), (B, b)}.
• الموضع: إذا كانت جميع المعاملات موجبة، فإن G تقع داخل المثلث (أو على القطعة).
• التناسب: ضرب جميع المعاملات في نفس العدد غير المعدوم لا يغير المرجح: Bar{(A, a), (B, b)} = Bar{(A, ka), (B, kb)}.

📊 4. إحداثيات المرجح في معلم

في معلم (O, i, j)، إذا كانت A(xA, yA) و B(xB, yB)، فإن إحداثيات G = Bar{(A, α), (B, β)} هي:

xG = (α·xA + β·xB) / (α + β)

yG = (α·yA + β·yB) / (α + β)

📍 دروس مشابهة:

• الجداء السلمي في المستوى – الثانية ثانوي رياضيات
• المتتاليات الحسابية والهندسية – الثانية ثانوي