مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
الدوال الأسية: تعريفها، خصائصها وتمارين بكالوريا محلولة
الأهداف التعليمية:
- تعريف الدالة الأسية الأساسية (exp) وخصائصها
- إتقان حل المعادلات والمتراجحات الأسية
- دراسة تغيرات الدالة الأسية ورسم منحناها
- تطبيق الدالة الأسية في مسائل البكالوريا
1. تعريف الدالة الأسية
الدالة الأسية (exponentielle) هي الدالة العكسية للدالة اللوغاريتمية الطبيعية (ln). نرمز لها بـ exp(x) أو eˣ. كل عدد حقيقي x يقابل عدد حقيقي موجب قطعاً y = eˣ حيث ln(y) = x. خصائص أساسية: e⁰ = 1، e¹ = e ≈ 2.718، eˣ > 0 لكل x ∈ ℝ. مجموعة التعريف: ℝ، المجموعة: ]0,+∞[.
2. خصائص جبرية هامة
لأي عددين حقيقيين a و b: (1) e^(a+b) = e^a × e^b (قاعدة الجمع تتحول إلى ضرب). (2) e^(a-b) = e^a / e^b. (3) e^(ka) = (e^a)^k لكل k ∈ ℚ. (4) e^(ln x) = x لكل x > 0 و ln(e^x) = x لكل x ∈ ℝ. (5) (e^a)^b = e^(ab). هذه الخصائص تجعل الدالة الأسية أداة قوية في النمذجة الرياضية للظواهر الطبيعية.
3. دراسة تغيرات الدالة الأسية
الدالة f(x) = eˣ معرفة وقابلة للاشتقاق على ℝ، مشتقتها f'(x) = eˣ. الإشارة: f'(x) > 0 لكل x، إذن الدالة تزايدية قطعاً على ℝ. النهايات: lim(x→-∞) eˣ = 0، lim(x→+∞) eˣ = +∞. جدول التغيرات يبين أن الدالة تنطلق من 0 عند ∞- وتتصاعد بسرعة كبيرة. المنحنى يقترب من محور الفواصل (محور x) عندما يؤول x إلى ∞- (مقارب أفقي).
4. تمارين بكالوريا محلولة
التمرين 1 (بكالوريا): حل المعادلة e^(2x) – 3e^x + 2 = 0.
الحل: نضع X = e^x > 0. تصبح المعادلة: X² – 3X + 2 = 0. Δ = (-3)² – 4(1)(2) = 9 – 8 = 1. إذن X₁ = (3+1)/2 = 2 و X₂ = (3-1)/2 = 1. نعود للمتغير x: e^x = 2 → x = ln(2) و e^x = 1 → x = 0. مجموعة الحلول: S = {0, ln(2)}.
التمرين 2 (بكالوريا): احسب نهاية الدالة f(x) = (e^x – 1) / x عندما يؤول x إلى 0.
الحل: نستخدم النهاية الأساسية: lim(x→0) (e^x – 1)/x = 1. (هذه النهاية تمثل مشتقة eˣ عند 0).
التمرين 3 (بكالوريا): ادرس تغيرات الدالة f(x) = x²eˣ.
الحل: مشتقة f'(x) = 2xeˣ + x²eˣ = xeˣ(2 + x). إشارة f'(x) تنعدم عند x = 0 و x = -2. جدول التغيرات: f تزايدية على ]∞-,-2[ ∪ ]0,+∞[ وتناقصية على ]-2,0[. نقطة نهاية محلية: نهاية عظمى عند x = -2 حيث f(-2) = 4/e² ≈ 0.54، نهاية صغرى عند x = 0 حيث f(0) = 0.
الخلاصة:
الدوال الأسية من أهم الدوال في الرياضيات ولها تطبيقات واسعة في الفيزياء والكيمياء والاقتصاد. أساسياتها: التعريف، الخصائص الجبرية، الاشتقاق، النهايات والتغيرات. تأكد من حفظ النهايات الأساسية وخاصية e^(ln x) = x. حل تمارين البكالوريا السابقة أفضل طريقة للتحضير.
