مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
التكامل: حساب المساحات والحجوم – الثالثة ثانوي (بكالوريا)
الأهداف التعليمية:
- فهم مفهوم التكامل المحدود كمساحة تحت المنحنى
- إتقان طرق حساب التكاملات (التكامل المباشر والتعويض والتكامل بالتجزئة)
- تطبيق التكامل في حساب المساحات والحجوم (دوران)
1. مفهوم التكامل المحدود
إذا كانت f دالة متصلة على فترة [a,b] و F دالة أصلية لها (F’ = f)، فإن التكامل المحدود من a إلى b يُعرف بـ: ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a). هذا التكامل يمثل المساحة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور x من x=a إلى x=b (مع مراعاة الإشارة). تذكّر أن الدالة الأصلية للدالة x^n هي x^(n+1)/(n+1) وأن الدالة الأصلية للدالة e^x هي e^x.
2. خصائص التكامل المحدود
(1) ∫ₐᵃ f(x)dx = 0. (2) ∫ₐᵇ f(x)dx = −∫_bᵃ f(x)dx (تبديل الحدين). (3) ∫ₐᵇ (f+g) = ∫ₐᵇ f + ∫ₐᵇ g (الخطية). (4) ∫ₐᵇ f = ∫ₐᶜ f + ∫_cᵇ f (علاقة شال). (5) إذا كان f(x) ≥ g(x) على [a,b] فإن ∫ₐᵇ f ≥ ∫ₐᵇ g. (6) القيمة المتوسطة: (1/(b-a)) ∫ₐᵇ f(x)dx.
3. تقنيات التكامل الأساسية
التكامل المباشر: تطبيق صيغ التكامل الأساسية مباشرة. التكامل بالتعويض (changement de variable): نضع u = g(x) و du = g'(x)dx. مثال: ∫ 2x·e^(x²)dx — نضع u = x² → du = 2xdx → التكامل = ∫ e^u du = e^u + C = e^(x²) + C.
التكامل بالتجزئة (intégration par parties): الصيغة: ∫ u·dv = u·v − ∫ v·du. مثال: ∫ x·e^x dx — نضع u = x (du = dx) و dv = e^x dx (v = e^x) → التكامل = x·e^x − ∫ e^x dx = x·e^x − e^x + C = e^x(x−1) + C.
4. حساب المساحات باستخدام التكامل
المساحة المحصورة بين منحنيي دالتين f و g على [a,b]: A = ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx. إذا كانت f(x) ≥ g(x) على الفترة، نستخدم A = ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx. مثال: احسب المساحة المحصورة بين f(x) = x² و g(x) = x على [0,1]. الحل: x ≥ x² على [0,1]، إذن A = ∫₀¹ (x − x²) dx = [x²/2 − x³/3]₀¹ = 1/2 − 1/3 = 1/6.
5. حساب الحجوم (دوران)
حجم المجسم الناتج عن دوران منحنى الدالة f حول محور x على [a,b]: V = π ∫ₐᵇ [f(x)]² dx. مثال: حجم كرة نصف قطرها R ← هي ناتج دوران نصف دائرة y = √(R²−x²) حول محور x من -R إلى R: V = π ∫_(-R)^R (R²−x²) dx = π [R²x − x³/3]_(-R)^R = 4πR³/3.
تمرين بكالوريا محلول
التمرين: احسب المساحة المحصورة بين المنحنيين f(x) = √x و g(x) = x/2.
الحل: نقاط التقاطع: √x = x/2 → بتربيع الطرفين: x = x²/4 → 4x = x² → x² − 4x = 0 → x(x−4) = 0 → x=0 أو x=4. على [0,4]، √x ≥ x/2 (جرب x=1: 1 > 0.5). A = ∫₀⁴ (√x − x/2) dx = [2x^(3/2)/3 − x²/4]₀⁴ = 2(8)/3 − 16/4 = 16/3 − 4 = 16/3 − 12/3 = 4/3 وحدات مساحة.
الخلاصة:
التكامل أداة رياضية قوية لحساب المساحات والحجوم والعديد من الكميات الفيزيائية. تقنيات التكامل الأساسية: المباشر، التعويض، التجزئة. تذكر استخدام |f−g| عند حساب المساحة بين منحنيين. التكامل بالتجزئة مفيد جداً لحاصل ضرب دالتين من نوعين مختلفين (مثلاً كثيرة حدود × أسية).
