موضوع امتحان بكالوريا 2016 في الرياضيات مع الحل – شعبة تسيير واقتصاد

📌 التمرين الأول (05 نقاط)

نعتبر الدالة f المعرفة على ℝ بـ:

f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1

1. احسب lim_x→−∞ f(x) و lim_x→+∞ f(x).
2. ادرس اتجاه تغير الدالة f وشكل جدول تغيراتها.
3. بين أن المنحنى (C_f) يقبل نقطة انعطاف يطلب تعيينها.
4. أوجد معادلة المماس للمنحنى عند نقطة الانعطاف.
5. بين أن المعادلة f(x) = 0 تقبل حلاً وحيداً α في المجال ]4, 5[.

📌 التمرين الثاني (05 نقاط)

نعتبر المصفوفتين A و B المعرفتين بـ:

A = [ 2 1 ] , B = [ 1 2 ]
[ 1 2 ] [ 2 1 ]

1. احسب A + B و A − B.
2. احسب A × B و B × A. ماذا تلاحظ؟
3. أوجد المصفوفة X بحيث: 2X + A = 3B.
4. أوجد المصفوفة A⁻¹ معكوس المصفوفة A.
5. حل جملة المعادلات التالية باستعمال المصفوفات:
   2x + y = 5
   x + 2y = 4

📌 التمرين الثالث (05 نقاط)

في إطار دراسة اقتصادية، تم تسجيل أرباح شركة (مليون دينار) خلال 5 سنوات:

1. مثل سحابة النقاط (x_i, y_i) في معلم متعامد.
2. احسب معامل الارتباط الخطي r بين x و y. ماذا تستنتج؟
3. حدد معادلتي مستقيمي انحدار (y/x) و (x/y).
4. ما هو الربح المتوقع للسنة السادسة؟

📌 التمرين الرابع (05 نقاط)

وضع أب مبلغ 100,000 دينار جزائري في حساب بنكي بنسبة فائدة مركبة 4% سنوياً. في نهاية كل سنة، يضيف مبلغ 10,000 دينار للحساب.

نرمز بـ u_n للمبلغ الموجود في الحساب بعد n سنة. لدينا u₀ = 100000.

1. أوجد العلاقة بين u_n+1 و u_n.
2. المتتالية (u_n) هل هي حسابية أم هندسية؟
3. نضع v_n = u_n + 250000. بين أن (v_n) هندسية أساسها 1.04.
4. أكتب u_n بدلالة n.
5. ما هو المبلغ الموجود بعد 5 سنوات؟ بعد 10 سنوات؟

🔹 حل التمرين الأول

1. النهايات:
   lim_x→−∞ f(x) = lim_x→−∞ x³ = −∞
   lim_x→+∞ f(x) = lim_x→+∞ x³ = +∞
2. اتجاه التغير:
   f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x² − 4x + 3) = 3(x − 1)(x − 3)
   f′(x) = 0 ⇔ x = 1 أو x = 3
   f′(x) > 0 على ]−∞, 1[ ∪ ]3, +∞[, f′(x) < 0 على ]1, 3[
   f(1) = 1 − 6 + 9 + 1 = 5
   f(3) = 27 − 54 + 27 + 1 = 1
   جدول التغيرات:
   x : −∞ → 1 → 3 → +∞
   f′(x) : + → 0 → − → 0 → +
   f(x) : −∞ ↗ 5 ↘ 1 ↗ +∞
3. نقطة الانعطاف:
   f″(x) = 6x − 12 = 6(x − 2)
   f″(x) = 0 ⇔ x = 2, f″ تغير الإشارة عند x = 2
   إذن A(2, f(2)) هي نقطة انعطاف.
   f(2) = 8 − 24 + 18 + 1 = 3 ← A(2, 3)
4. المماس عند نقطة الانعطاف:
   f′(2) = 12 − 24 + 9 = −3
   y = f′(2)(x − 2) + f(2) = −3(x − 2) + 3 = −3x + 9
5. f(4) = 64 − 96 + 36 + 1 = 5 > 0
   f(5) = 125 − 150 + 45 + 1 = 21 > 0
   هذا لا يعطي تغير إشارة بين 4 و 5. لنحسب f(4.5):
   f(4.5) = 91.125 − 121.5 + 40.5 + 1 = 11.125 > 0
   f(5) = 21 > 0
   نحتاج مجالاً أكبر: f(6) = 216 − 216 + 54 + 1 = 55 > 0
   بما أن lim_x→−∞ f(x) = −∞ و f(1) = 5 > 0، يوجد حل في ]−∞, 1[.
   f(0) = 1 > 0, f(−1) = −1 − 6 − 9 + 1 = −15 < 0
   إذن α ∈ ]−1, 0[ (وليس في ]4, 5[).

🔹 حل التمرين الثاني

1. A + B = [3 3], A − B = [1 −1] [3 3] [−1 1]
2. A × B = [2·1 + 1·2 2·2 + 1·1] = [4 5] [1·1 + 2·2 1·2 + 2·1] [5 4] B × A = [1·2 + 2·1 1·1 + 2·2] = [4 5] [2·2 + 1·1 2·1 + 1·2] [5 4] نلاحظ أن A × B = B × A، أي أن A و B تبادليتان.
3. 2X + A = 3B ⇒ 2X = 3B − A
   3B − A = [3 − 2 6 − 1] = [1 5] [6 − 1 3 − 2] [5 1] X = (1/2)[1 5] = [0.5 2.5] [5 1] [2.5 0.5]
4. det(A) = 2·2 − 1·1 = 4 − 1 = 3
   A⁻¹ = (1/3)[2 −1] [−1 2]
5. جملة المعادلات تكتب AX = B حيث X = [x] و B = [5] [y] [4] X = A⁻¹ B = (1/3)[2 −1][5] = (1/3)[10 − 4] = (1/3)[6] = [2] [−1 2][4] [−5 + 8] [3] [1] إذن x = 2, y = 1.

🔹 حل التمرين الثالث

1. سحابة النقاط:
   تمثل النقاط (1, 2.1), (2, 2.7), (3, 3.5), (4, 4.0), (5, 4.8) في معلم متعامد. تلاحظ تقاربها من خط مستقيم.
2. معامل الارتباط:
   x̄ = 3, ȳ = (2.1 + 2.7 + 3.5 + 4.0 + 4.8)/5 = 17.1/5 = 3.42
   Cov(x, y) = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)/5 = 17/5 = 3.4
   σ_x² = Σ(xᵢ − x̄)²/5 = 10/5 = 2, σ_x = √2
   σ_y² = Σ(yᵢ − ȳ)²/5 = 3.808/5 = 0.7616, σ_y ≈ 0.873
   r = Cov/(σ_x·σ_y) = 3.4/(1.414 × 0.873) ≈ 3.4/1.234 ≈ 0.986
   r قريب جداً من 1، إذن هناك ارتباط خطي قوي بين x و y.
3. مستقيما الانحدار:
   y/x: y − ȳ = (Cov/σ_x²)(x − x̄) ⇒ y − 3.42 = (3.4/2)(x − 3) = 1.7(x − 3)
   y = 1.7x − 5.1 + 3.42 = 1.7x − 1.68
   x/y: x − x̄ = (Cov/σ_y²)(y − ȳ) = (3.4/0.7616)(y − 3.42) = 4.464(y − 3.42)
4. للسنة السادسة x = 6: y = 1.7·6 − 1.68 = 10.2 − 1.68 = 8.52 مليون دينار.

🔹 حل التمرين الرابع

1. العلاقة:
   u_n+1 = u_n × (1 + 4/100) + 10000 = 1.04 u_n + 10000
2. المتتالية (u_n) ليست حسابية ولا هندسية لأنها معرفة بعلاقة تراجعية خطية من رتبة 1.
3. v_n = u_n + 250000
   v_n+1 = u_n+1 + 250000 = 1.04 u_n + 10000 + 250000 = 1.04 u_n + 260000
   = 1.04(u_n + 250000) = 1.04 v_n
   إذن (v_n) هندسية أساسها q = 1.04 وحدها الأول v₀ = u₀ + 250000 = 350000.
4. v_n = v₀ · qⁿ = 350000 × (1.04)ⁿ
   u_n = v_n − 250000 = 350000 × (1.04)ⁿ − 250000
5. بعد 5 سنوات: u₅ = 350000 × (1.04)⁵ − 250000
   = 350000 × 1.2166529 − 250000
   = 425828.5 − 250000 = 175828.5 دينار
   بعد 10 سنوات: u₁₀ = 350000 × (1.04)¹⁰ − 250000
   = 350000 × 1.480244 − 250000
   = 518085.4 − 250000 = 268085.4 دينار